Espacio y Plano

Adrien Douady

Traducción: Hernández,Víctor y Villalba, Martha

PMME-UNISON. Febrero. 2001.

1.Dominar las relaciones con el espacio

Desde los 3-4 años de edad, los niños tienen que aprender a ubicarse a sí mismos con respecto a su entorno. También deben aprender a localizar a otros niños y objetos con respecto a sí mismos o, directamente, con respecto a lo que les rodea. Posteriormente, en la escuela primaria, ellos hacen representaciones que involucran la transferencia de tres a dos dimensiones, y simultáneamente desde el mesoespacio - espacio en el cual uno vive - al microespacio -espacio de los objetos pequeños que uno puede atajar y mover. (cfr. la contribución de R. Berthelot & M.H. Salin, en el Capítulo 2, Sección. V). A esta edad los niños hacen una descripción de los objetos sólidos usando palabras o dibujos, y empiezan a usar medidas para hacer más precisas estas descripciones.

La construcción de imágenes mentales de configuraciones tridimensionales y la anticipación de movimientos puede ser aprendida a temprana edad. El trabajo en este aprendizaje empieza en la escuela primaria y el dominio de situaciones complejas requiere varios años.

La habilidad para hacer representaciones bidimensionales de configuraciones tridimensionales se apoya sobre las competencias mencionadas arriba y sobre algún conocimiento de la geometría bidimensional. La habilidad para leer dibujos bidimensionales, planos o mapas, que representan configuraciones tridimensionales, para razonar en tres dimensiones usando estas representaciones bidimensionales requiere de que todo lo anterior se tenga desarrollado a cierto nivel. Naturalmente, esta competencia es adquirida en una espiral dialéctica.

Note que algunos deportes (tales como el escalamiento de rocas) o artes (muchos instrumentos musicales) requieren un dominio que es esencialmente instintivo de las relaciones con el espacio-al menos no expresado por número o figuras - pero con frecuencia se necesita ser extremadamente exacto. Un operador de pala mecánica no tiene un grado académico en geometría, no obstante es capaz de producir movimientos muy precisos de su pala mediante los numerosos controles de su máquina.

2.Tecnología en 3D

En muchos campos la extensión de este proceso a la tecnología es crucial: mecánica, automatización, robótica, arquitectura, construcción de barcos, etc. Estos requieren el dar una descripción precisa de la posición de un cuerpo sólido en el espacio. Esto siempre es un problema difícil, pues no hay un sistema satisfactorio de coordenadas para el conjunto de todas las posibles posiciones de un sólido dado, o equivalentemente el grupo de las isometrías directas de R3. Si se requieren posiciones más allá de traslaciones, o equivalentemente, si se restringen las posiciones con un punto fijotomado como origen, i.e. si se considera el grupo ortogonal en tres dimensiones, se pueden usar los ángulos de Euler, o los ángulos de Bryant, o las coordenadas dadas por el eje y el ángulo, o expresiones por cuaternios o sólo por matrices. En estos sistemas de coordenadas, la ley de composición nunca es simple. Aunque los cuaternios son los más eficientes técnicamente.

Esto es lo que hace a la geometría tridimensional intrínsecamente más difícil que la bidimensional (para la rotación alrededor del origen, la composición está dada simplemente por la adición de ángulos).

Cuando se trabaja sobre un problema de geometría, no se está tratando necesaria y explícitamente con el grupo de isometrías del espacio en el que se trabaja, pero tan pronto como el problema se complica, las dificultades que surjan pueden ser analizadas en términos de las propiedades de este grupo. Así pues, intento decir que este grupo siempre está presente.

3.La enseñanza de la Geometría Plana

La enseñanza de la geometría en el nivel medio trata con geometría plana Euclidiana. ¿Porqué es así?

La geometría puede ser referida como una rama bien modelada de la física, así que todo el trabajo es realizado en el modelo, descrito por axiomas, mediante el razonamiento puramente deductivo. A este respecto, la geometría bidimensional es sólo un estudio preliminar que tiene que ser dominado antes de enfrentar las dificultades de la geometría tridimensional.

Pero es claro que ésta no es la fuente principal de interés para la geometría plana. Fundamentalmente, a través de los tiempos desde los Griegos, la geometría plana Euclidiana ha sido estudiada y enseñada para su propio beneficio, como un lugar privilegiado para el aprendizaje y la ejercitación del razonamiento deductivo. La posibilidad de hacer figuras ayuda a la intuición, y con frecuencia a la comunicación. Pero el juego es el dar definiciones, notaciones y hacer pruebas de acuerdo a reglas estrictas que pueden ser entendidas sin la ayuda de las figuras.

La interacción entre el lenguaje matemático y el lenguaje de las imágenes, entre la aproximación sintética (donde cada paso tiene un significado en términos de la figura) y la aproximación analítica (usando coordenadas para transferir las preguntas a contextos de trabajo numéricos o algebraicos, los que permiten cálculos ciegos), entre los espacios bi y tridimensional, hacen a la materia rica en extremo. Por ejemplo, una cónica puede ser definida como la intersección de un cono por un plano, o como una curva definida por una ecuación de grado 2, o mediante alguna de las varias definiciones en geometría plana pura. Una parte esencial del entendimiento completo de las cónicas es el entender la equivalencia entre todas éstas definiciones, tenerlas disponibles a todas a cada momento, ser capaz de elegir una u otra a conveniencia y transferir propiedades de un contexto de trabajo a otro.

4.Computadoras versus Regla y Compás

Recientemente ha surgido la posibilidad de dibujar figuras con la computadora - incluso con una calculadora de bolsillo - con una precisión mejor que con una regla y un compás. Algunos paquetes de software, como Cabri, permiten hacer construcciones de acuerdo al mismo esquema de las construcciones clásicas con regla y compás.

Uno puede manipular los datos (los puntos arbitrarios con los que frecuentemente se empieza la construcción) y permite que la construcción los siga, o preguntar a la computadora si tres líneas que pasan aparentemente por un punto común realmente lo hacen.

Dominar tal poderosa herramienta escribiendo subprogramas y usándolos como bloques de construcción para evitar repeticiones tediosas (por ejemplo: círculos que pasan a través de tres puntos) es ciertamente un reto tan grande como el lograr construcciones con regla y compás empezando desde un nivel elemental (líneas rectas que pasan a través de dos puntos, intersecciones de dos círculos, etc).

Las construcciones con regla y compás son sumamente restringidas. En términos algebraicos, ellas permiten investigar sólo aquellos puntos cuyas coordenadas pertenecen a una extensión cuadrática iterada del campo generado por los datos. Esta restricción, impuesta por los Griegos, es totalmente arbitraria. La computadora puede ignorarla: en esta perspectiva, una cúbica o una espiral logarítmica es tan "real" como un círculo. Sin embargo el software en uso tiene limitaciones (y uno puede imponerle algunas posteriores, tanto si es pertinente como deseable).

El verdadero peligro es que este salto en libertades puede matar la creatividad. Esto es lo que sucedió a los arquitectos en todo el mundo en las décadas siguientes a la aparición del concreto.

5.Geometría No-Euclidiana

No fue una duda sobre lo adecuado de la geometría Euclidiana para una descripción del mundo físico lo que guió a los antiguos Griegos y a los Árabes en la edad media a preguntar si el postulado de las paralelas de Euclides podría ser deducido de los otros axiomas de la Geometría plana. En realidad, el mundo físico es Euclidiano con una precisión extrema: la primera discrepancia fue observada durante un eclipse solar que confirmó la teoría general de la relatividad. Y, si no hubiera sido por la aportación de esta teoría, la desviación observada pudiera haber sido interpretada de muchas otras maneras.

La geometría hiperbólica bi y tridimensional, en un objeto cultural importante pues, a causa de su existencia, se prueba la independencia del postulado de las paralelas de los otros axiomas de Euclides y se arroja luz sobre los fundamentos de la geometría. En algunas materias muy especializadas es también una herramienta extremadamente poderosa (análisis complejo, topología de variedades). Al final del nivel medio puede ser accesible a aquellos estudiantes que hubieran sido motivados particularmente. Pero, el incluirla en el currículo para ser estudiada con algún detalle, sería probablemente irreal en virtud de las muchas restricciones sobre la organización de la enseñanza y de la naturaleza epistemológica de los aspectos que motivan sólo a una minoría.

Un tipo más de geometría es la esférica. Esta surge no de problemas metafísicos ya que puede ser entendida en el espacio Euclidiano tridimensional. Esta proporciona un razonablemente buen modelo de la Tierra, por lo que resulta culturalmente importante. No sé en cuáles países se enseña ahora en el nivel medio. Ésta requiere al menos de un buen nivel en geometría Euclidiana tridimensional y en trigonometría. La geometría de la esfera difiere de la geometría Euclidiana por el hecho de que existen varias geodésicas que se juntan en puntos antípodas. A excepción de esto, técnicamente es muy similar a la geometría hiperbólica.