Geometría Eterna

Vagn Lundsgaard Hansen

Traducción: Hernández, Víctor y Villalba, Martha

PMME-UNISON. Febrero. 2001.

Las matemáticas se han desarrollado a través de milenios y tienen su origen en la necesidad de los seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El énfasis exagerado que caracteriza a las matemáticas como un medio para describir los problemas del mundo real descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. Para cualquier profesor de matemáticas es un reto el darse cuenta de la simbiosis dialéctica entre los lados concreto y abstracto de la matemática.

En el currículo escolar la manipulación de los números está dividida en lo concreto: aritmética o cálculos con números, y lo abstracto: álgebra o cálculos con símbolos. En la enseñanza de la geometría esta discriminación involucra sutilezas como el distinguir entre una figura concreta y formas abstractas que con frecuencia permanecen ocultas.

Brevemente debo referirme a algunos de los principales desarrollos en la historia de la geometría e indicar los hitos importantes desde el punto de vista didáctico para la enseñanza de la geometría. Debo hacer algunas aclaraciones en geometría, las que en mi opinión siempre tendrán importancia y consecuentemente son relevantes para el currículo en geometría. Desde hace algún tiempo se ha establecido una fuerte presión en el sistema educativo, ésta consiste en la dificultad para introducir nuevos tópicos en el currículo sin quitar otros. Debo argumentar que hay muchos tópicos clásicos que tienen un lugar justificado e importante en el currículo. Espero, si embargo, mostrar también cómo enriquecer el estudio de los tópicos tradicionales, señalando algunos aspectos novedosos.

No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas. En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tan frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchos países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanza de la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.

1.Geometría Euclidiana

Geometría se deriva de la palabra griega geometría (cezletqia), que significa medida de la tierra. La palabra fue usada por el historiador griego Herodoto en el siglo V a.C. en su gran épica sobre las guerras persas en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "geometría" para encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo.

La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría. En el siglo VI a.C., la famosa escuela de los pitagóricos también debe ser mencionada con relación a esto. Desde aquel período temprano debemos, sin embargo, señalar en particular a Eudoxio (alrededor del 391- 338 a.C.), quien es conocido por una teoría de las proporciones y el llamado método de exhaustión, aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente.

En primer lugar la geometría clásica Griega ha sobrevivido a través de los famosos trece libros escritos por Euclides alrededor de 300 a.C. conocidos como los Elementos de Euclides. En estos libros el conocimiento matemático, en particular el geométrico, es resumido por los griegos en el tiempo de Euclides y fue sistematizado de tal manera que su exposición, desde entonces, puso un sello a los escritos matemáticos.

La enseñanza de la geometría Euclidiana es importante desde los primeros grados del sistema educativo. Los niños debieran ser estimulados a estudiar figuras geométricas simples y explorar sus propiedades. En los primeros grados, la geometría Euclidiana, debiera ser principalmente informal y explicativa, dejando su sistematización para grados posteriores. Más aún, por supuesto, incluso en los grados posteriores, el estilo de enseñanza no debiera estar restringido al estilo sugerido por Euclides en los Elementos. En muchos países han desaparecido del programa las construcciones con regla y compás, no obstante ser una manera muy buena de aprender a analizar una situación como el primer paso en un proceso matemático. En el pasado se ha puesto en claro que ésta es una buena manera de crear interés por las matemáticas entre los niños dotados. Hacer una construcción elaborada es tanto creativo como inventivo. Si se quieren producir pequeños programas en la computadora para dibujar figuras geométricas se requiere saber cómo construirlas. De hecho, lo más importante de estas construcciones pudiera nuevamente resultar central el uso de la computadora como una herramienta para la enseñanza de la geometría elemental.

Nociones tales como semejanza, congruenciasimetría son fundamentales para una gran cantidad de argumentos y aplicaciones matemáticas y debieran ser estudiados con cierto detalle. En niveles avanzados de estudio, tales nociones pertenecen a la geometría transformacional.

No creo que a los niños se les deba enseñar las formalidades de los postulados de Euclides, y en todo caso no a tan temprana edad, pero sus profesores debieran conocerlos y enseñarlos con una perspectiva propia.

Los lados concreto y abstracto de la geometría no debieran ser formalizados y teorizados pero debieran ser experimentados durante la enseñanza y debieran ser desarrollados gradualmente en los alumnos y estudiantes. Al final, debiera emerger la diferencia entre una figura concreta y una forma abstracta. Las pruebas son útiles cuando actúan como explicaciones o revelan hechos sorprendentes que no pueden ser establecidos sólo por la "experimentación". En mi opinión uno siempre debiera buscar pruebas que actuaran como explicaciones, pero me he percatado de que algunas veces esto puede ser difícil. También me he tomado cabal conciencia de que lo que es un hecho sorprendente para un niño puedo no serlo para otro. Pero aún así, pienso que hay algunos hechos que son sorprendentes casi para cualquiera.

2.Secciones cónicas

Se llegó a la segunda cumbre en la geometría clásica Griega alrededor de los 200 a. C. con el trabajo sobre las secciones cónicas de Apolonio (262-190 a.C.). Desde un interés puramente matemático, las secciones cónicas han evolucionado hasta su utilidad en muchos y variados contextos. Es, por supuesto, de principal importancia el que se incluyeran en las descripciones del movimiento planetario de Kepler al inicio del siglo XVII; y más tarde por Newton al final del siglo XVII cuando, en uno de los mayores adelantos en la ciencia, el dedujo de su ley de gravitación que la forma de la órbita de los planetas era una elipse. Las aplicaciones de las cónicas son abundantes. Por ejemplo, las propiedades de reflexión de la elipse son aprovechadas en la destrucción de los cálculos renales y también las de la parábola en las antenas parabólicas. Para realizar ciertos movimientos mecánicos en de los robots, se necesitan engranes elípticos. La hipérbola es aprovechada en navegación (navegación hiperbólica, sistemas Navegadores Decca). Sin apenas darnos cuenta, de muchas maneras las secciones cónicas son parte de nuestra vida diaria.

El tamaño de una elipse particular es atribuido a la figura concreta. La forma abstracta en lo que uno debe pensar como el "alma" de la figura, para la elipse está caracterizada por la excentricidad, que es lo que mide qué tan aplanada está.

Platón (427.348 a.C.) asumió como realidad la suposición de que tales formas tenían una vida independiente en el mundo de las ideas. Sin embargo, el gran filósofo natural Aristóteles (384-322 a.C.), quien fue el más importante sucesor y alumno de Platón, distinguió entre el mundo realy el mundo de las ideas. Esto es, entre otras cosas, debido la discriminación entre lo concreto y lo abstracto que los matemáticas de todos los tiempos posteriores se han sentido en gran deuda con los Griegos.

En mi opinión, la enseñanza de las secciones cónicas debiera enfatizar la geometría de estos objetos como secciones planas en superficies cónicas, o - para la elipse - en cilindros; cfr. [4]. Al principio esta aproximación puede parecer muy difícil pero hay muchas ventajas valiosas. En particular esto ayuda a desarrollar el entendimiento espacial. Las gráficas de computadora pueden resultar útiles para familiarizar a los alumnos con las secciones cónicas, pero es más importante que nunca el mostrar también modelos reales de las formas geométricas que se puedan tocar y sentir.

3.Geometría analítica

Como es bien sabido, las secciones cónicas pueden ser descritas por ecuaciones algebraicas de segundo grado en dos variables. El obtener esta algebrización de las secciones cónicas fue, de hecho, el logro principal de René Descartes (1596-1650) lo que le permitió liberar su estudio de los argumentos geométricos de Euclides y Apolonio, a los cuales el criticaba por la ausencia de un método general. El logró su meta mediante la introducción de sistemas de coordenadas y la creación de la geometría analítica (geometría de coordenadas), para la cual el puso los cimientos en el libro La Géometrie publicado en 1637. Independientemente, Pierre de Fermat (1601-1665) también desarrolló una geometría de coordenadas. No obstante que los descubrimientos de Fermat datan de 1629, estos fueron publicados hasta 1679. Fermat, en contraste con Descartes, pensaba en la geometría analítica sólo como una extensión de las ideas de Euclides y Apolonio.

Los métodos, desarrollados por Euclides, Apolonio y sus sucesores anteriores al desarrollo de la geometría analítica, para tratar las cuestiones geométricas son conocidos ahora bajo el nombre de geometría sintética.

Los métodos de la geometría analítica son, por supuesto, de importancia fundamental y en la mayoría de los países pertenecen al currículo de el nivel medio. Desafortunadamente, pienso que su enfoque sobre las descripciones algebraicas de por ejemplo las secciones cónicas, ha hecho que su tratamiento sea artificial y remoto de las aplicaciones, llevándolas a un estado cercano a la desaparición del currículo. En mi opinión esto es un asombroso error.

El estudio de las formas geométricas descritas por ecuaciones algebraicas en completa generalidad es un área activa de investigación conocida como geometría algebraica. En el siglo pasado la geometría algebraica se ha desarrollado enormemente. Aún cuando la geometría algebraica tiene un alto nivel de abstracción, es también una base para profundas y útiles aplicaciones. Como un ejemplo, los métodos de la geometría algebraica están siendo usados para la construcción de códigos indescifrables y para la construcción de códigos que pueden auto corregir sus errores. En relación con la transmisión electrónica de datos, tales códigos tienen ya una importancia indiscutible.

4.Geometría No-Euclidiana

En los Elementos de Euclides hay un postulado que provocó la curiosidad de los matemáticos, llamado el postulado de las paralelas: "En el plano, dada una línea y un punto fuera de esta línea, existe exactamente una línea que pasa por ese punto que no intersecta a la línea dada." (Esta formulación es debida a Playfair en 1795 y es la más conocida de muchas formulaciones equivalentes.) Alrededor de 1830 explotó la bomba, cuando el matemático Ruso Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) en 1829 y el matemático Húngaro János Bolyai (1802-1860) en 1832 publicaron independientemente que ellos habían podido construir geometría que satisficieron todos los postulados de la geometría Euclidiana excepto por el postulado de las paralelas. Por lo que este postulado se ganó el estatus de un axioma que caracteriza a la geometría Euclidiana.[1]

De hecho, el gran matemático Alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) obtuvo resultados similar en 1816 pero mantuvo sus hallazgos en privado temiendo ser ridiculizado pues éstos se desviaban fuertemente del pensamiento filosófico de aquellos tiempos.

En una memoria de 1887, el matemático Francés Henri Poincaré (1854-1912) describió un modelo concreto de una geometría No-Euclidiana en dos dimensiones, el plano hiperbólico; este modelo es conocido ahora como el disco de Poincaré. Los puntos en el modelo de Poincaré del plano hiperbólico son los puntos dentro de un círculo, y las líneas son aquellos arcos circulares que se intersecan ortogonalmente con la frontera del círculo. Se puede dotar al plano hiperbólico con una medida de longitud, de tal manera que ciertas distancias que resultan constantes en geometría Euclidiana resultan infinitas cuando nos aproximamos a la frontera del círculo y son medidas por la distancia hiperbólica. Los ángulos son medidos por sus valores como ángulos Euclidianos.

El nacimiento de las geometría No-Euclidianas levantó la pregunta sobre cuál de las geometrías describe de la mejor manera posible el mundo físico. Debido a esto se inició uno de los períodos dorados en la interacción entre las matemáticas y la física, misma que en los inicios del siglo pasado guió hacia el desarrollo de la teoría de relatividad de Einstein, cfr. [5].

Es posible presentar la construcción del plano hiperbólico en el nivel de el nivel medio, cfr. [8]. La presentación contiene muchos de las valiosas construcciones de la geometría Euclidiana clásica tomando como punto de partida la construcción de inversiones sobre un círculo. Este es un episodio muy importante de la historia de la geometría y proporciona una buena oportunidad para repensar el rol de los postulados de la geometría Euclidiana pues contiene los dramas y sorpresas que pudieran esperarse en la presentación de una pieza de matemáticas. Seguramente al menos todos los profesores de matemáticas debieran saber sobre esto.

Es fácil emprender y estudiar los mosaicos del plano hiperbólico y probar que puede ser cubierto con n-ágonos regulares idénticos para todo entero . Este es un hecho sorprendente, en claro y agudo contraste con la geometría Euclidiana, donde sólo se puede cubrir el plano Euclidiano con n-ágonos regulares idénticos para n = 3, 4, 6.

5.Propiedades óptimas de los objetos geométricos

El estudio de las propiedades óptimas de los objetos geométricos es un área importante que pienso podría adicionar nuevas dimensiones a la enseñanza de la geometría, empezando posiblemente en el nivel de educación media, aunque ciertos aspectos pueden ser tratados desde el nivel escolar primario.

Como ejemplo, puedo mencionar los problemas isoperimétricos, cfr. [2], [4], [6], [7]. En su forma más simple el problema puede ser establecido como sigue: Encuentre la curva plana cerrada (sin auto intersecciones) con una longitud fija que encierre la máxima área plana.

Los antiguos Griegos dieron por descontado que la solución del problema fue lo que ellos refirieron como la más perfecta de todas las curvas, nombrada círculo. El matemático Suizo Jacob Steiner (1796-1863) dio varios dio varios ingeniosos argumentos para mostrar que la solución es el círculo, aunque con el defecto de que el dio por hecho la existencia de la solución. En [6], hepresentado uno de los argumentos de Steiner que encuentro particularmente bueno.

Sin embargo el problema fue clarificado por primera vez de manera completa en las clases en la Universidad de Berlín en los 1870 por Karl Weirstrass (185-1897) quien señaló que el problema difícil fue de hecho probar la mera existencia de una solución y desarrollar métodos para superarlo.

El problema general puede ser demasiado difícil de tratar. Pero el problema correspondiente a cuadriláteros, donde el cuadrado óptimo es el cuadrado, es sumamente sencillo, cfr. [7]. El problema para los triángulos, donde el triángulo óptimo es el triángulo equilátero, es un poco más difícil pero puede ser abordado en el nivel escolar secundario; cfr. [4]. En relación con la discusión de los triángulos podría también ser natural en este contexto probar el teorema de Heron semejante aunque más profundo que expresa el área de un triángulo mediante las longitudes de sus lados.

Las consideraciones de optimización permiten la entrada a casi todos los problemas de diseño físico y tecnológico. Los diseños óptimos de estructuras (vigas, hojas, etc.) que utilizan las propiedades básicas de los materiales en la forma más eficiente constituyen una importante área de investigación en la tecnología moderna, aunque las preguntas de optimización surgen raramente en los grados iniciales como preguntas matemáticas.

6.Formas curvadas

¿Qué está plano y qué está curvo? Si usted ve a través de sus lentes matemáticos, fácilmente puede ser desconcertado. Las escaleras en espiral que se encuentran en las torres (la Torre Redonda en Copenhagen tiene una que es magnífica) son obviamente superficies curvadas. Pero sin embargo, una escalera en espiral puede ser cubierta con tablas rectas radiantes de un eje central, como en las escaleras de caracol, donde imaginamos que los escalones han sido suavizados. Una superficie que puede ser barrida de esta manera por un segmento de línea moviéndose en el espacio tridimensional, en matemáticas es llamada una superficie reglada. Las superficies regladas tienen muchas ventajas desde el punto de vista de la construcción y por ello son usadas entre otras lugares en la construcción de barcos (para el diseño del casco) y edificios. El tipo especial de superficie reglada que se encuentra en las escaleras de caracol es llamado en matemáticas una helicoidal.

Las helicoidales tiene otra propiedad interesante: a pequeña escala pueden ser producidas como películas de jabón. Una superficie en el espacio que en pequeñas piezas sigue la forma de una película de jabón es llamada una superficie minimal. El nombre es debido al hecho de que superficies minimales localmente minimizan el área. Estas ocurren con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo en las celdas membranosas y pueden ser producidas no sólo como películas de jabón sino también más permanentemente como fascinantes membranas de pegamento. Las helicoidales son las únicas superficies en el espacio tridimensional que son al mismo tiempo minimales y regladas.

El estudio de las superficies minimales tiene sus raíces en Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Meusnier (1754-1793) y otros y, constituye un área de investigación en matemáticas activa actualmente.Alrededor de 1985 fue encontrada una nueva superficie minimal en el espacio tridimensional, la que ha generado considerable interés. Las gráficas computarizadas jugaron un papel un rol significativo en las primeras investigaciones de esta superficie y juegan un rol importante en los estudios subsiguientes de las superficies minimales.

Las superficies minimales satisfacen la desinteresada demanda de eficiencia de la naturaleza y esto las hace extra fuertes y estables. Ya que también son estéticamente agradables, captan el interés de los arquitectos e ingenieros, como es manifiesto en los trabajos del famoso arquitecto Alemán Frei Otto.

Ciertamente que ya en el nivel de primaria es posible introducir objetos que en realidad son superficies minimales. En el nivel secundario es posible avanzar e introducir la curvatura de las superficies después de haber introducido la curvatura de las curvas planas enfatizando los círculos de curvatura que la aproximan; cfr. [5]. Esto es probablemente para una minoría, pero ellos también necesitan retos. Es la curvatura lo que hace la vida interesante.

7.De la Geometría a la Topología

En un artículo de 1679, Leibniz (1646-1716) se propuso la formulación de algunas propiedades de las formas geométricas, el uso de símbolos especiales para representarlos y la combinación de estas propiedades para crear otras. Él llamó a tales estudios analysis situs, o geometria situs. No queda muy claro lo que quería decir, pero en 1679, en una carta a Huygens explico que no estaba satisfecho con que la geometría analítica estudiara a las figuras geométricas, ya que esta involucraba magnitudes. Al principio Leibniz no estimuló ningún desarrollo nuevo con estas ideas. 

En 1735, Euler publicó un artículo con el título Solución de un problema de geometría situs para resolver el problema acerca de los puentes de Könisberg. Más que una mera contribución al analysis situs, se cuenta hoy día como uno de los primeros resultados propios de la teoria de gráficas. Entonces, en 1750, Euler publicó una prueba del teorema conocido ahora como Teorema de los poliedros de Euler. Este teorema es considerado generalmente como el primer resultado propio en analysis situs; este involucra solamente la estructura combinatoria de la superficie de un poliedro convexo y no sus magnitudes.

El nombre analysis situs fue usado comúnmente para los estudios geométricos que no involucraban magnitudes directamente hasta la mitad del siglo antepasado en que Listing, un estudiante de Gauss, ya en 1836 (en una carta escrita en Catania) había propuesto llamarle topología. El nombre topología ahora es asociado generalmente a los estudios de las propiedades cualitativas de los objetos geométricos.

La topología se ha desarrollado hasta llegar a ser una disciplina matemática importante en el siglo pasado y por ello es relevante presentar elementos de ella en el nivel medio. Es bastante fácil presentar tanto el problema de los puentes de Könisberg como el Teorema de Euler sobre los poliedros.

A partir del siglo pasado, pienso que es posible presentar la noción de los grados de correlación de los mapas de un círculo en sí mismo. Esto fue introducido en 1910 por Brower (1881-1967) y tiene aplicaciones a la teoría de punto fijo, campos vectoriales sobre esferas y el teorema antípoda de Borsuk; cfr. [3]. 

También es posible presentar elementos de la teoría de nudos y de sistemas dinámicos discretos. En este último caso existen extensas posibilidades para estudios computarizados. Tales materias novedosas no debieran ser vistas como alternativas a la geometría Euclidiana clásica en dos y tres dimensiones, pero - si el tiempo lo permite - pueden ser insertadas en el currículo de geometría.

Desde el punto de vista didáctico, me gustan sobre todo los desarrollos modernos que de manera natural pueden ser ligados a tópicos más clásicos para mostrar los valores eternos de nuestra materia.

8.El gran libro de la Geometría

En la naturaleza viviente, alrededor nuestro, el libro de la geometría descansa abierto justo ante nuestros ojos. Basta pensar en los encantadores patrones en las alas de una mariposa, las fascinantes simetrías en las plantas y las fantásticas construcciones de las conchas que se encuentran entre los caracoles y los mejillones.

Como un ejemplo, la curva de la concha de un caracol es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica especialmente perfecta en la naturaleza puede encontrarse en la concha de una de una jibia primitiva llamada Nautilus. En el caracol, la espiral logarítmica es una expresión pacífica de crecimiento exponencial. En el nivel del nivel medio son estudiados varios tipos de crecimiento en conexión con otras cosas, yllevar esto también al contexto geométrico subraya la universalidad de las matemáticas.

La forma de una espiral logarítmica es conservada por un escalamiento arbitrario hacia arriba o hacia abajo. A causa del alto grado de auto similitud, la espiral logarítmica es encontrada frecuentemente en las imágenes de fractales. Es también la auto similitud la que hace posible que uno pueda enrollar la espiral logarítmica en una salchicha con un grosor de crecimiento exponencial de tal forma que la salchicha pueda ser penetrada en un sólido con la parte externa de una vuelta encajando exactamente contra el interior de la siguiente. La superficie de esta salchicha es exactamente la concha de un Nautilus, cfr. [5]. Si uno entiende la construcción puede producir una que se parezca mucho a un Nautilus en la computadora. Pero nada puede ser un sustituto del mundo real - cualquiera que esto sea - ni incluso una computadora.

Estudio computarizado de un Nautilus por Steen Schyum Markovsen

Universidad Técnica de Dinamarca

Las matemáticas tienen una residencia permanente en las formas que se muestran en las abundantes maravillas de la naturaleza. Si se ve a la estructura matemática subyacente, se tendrá acceso a los métodos poderosos y universales en matemáticas los cuales están ligados por la visión general proporcionada por la abstracción. Por ello la fuerza de las matemáticas se encuentran en la interacción entre lo concreto y lo abstracto.

REFERENCIAS

[1] Courant, R. y Robbins, H., What is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.

[2] Eggleston, H. G., The Isoperimetric Problem, Capítulo 7 en: Exploring University Mathematics 1 (N.J. Hardiman, Ed), Pergamon Press, 1967.

[3] Hansen, V.L., Fra geometri til topologi, Nordisk Matematisk Tidskrift 36, (2), 48-60, (1988).

[4] Hansen, V.L., Temaer fra Geometrien, Matematicklærenrforeningen, (English translation available: Shadows of the Circle, World Scientific, Singapore), 1992.

[5] Hansen, V.L., Geometry in Nature, A.K. Peters, Ltd., Wellesley, Mass., U.S.A., 1993.

[6] Hansen, V.L., The Magic World of Geometry - I. The Isoperimetric Problem, Elemente der Mathematic 49, (2), 61-65, (1994).

[7] Hansen, V.L., I am the greatest, Mathematics in School 25, (4), 10-11, (1996).

[8] Hansen, V.L., The dawn of non-Euclidean geometry, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 28, (1), 3-23, (1997).

[9] Hildebrandt, S. & Tromba, A., Mathematics and Optimal Form, Scientific Amer. Library, W.H. Freeman and Co, 1985.

[10] Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.

[11] Stillwell, J., Mathematics and Its History, Springer, 1989.



[1] Nótese que aquí hago una distinción entre postulado y axioma, lo cual podría no ser común en todos los países.