La Geometría desde un Punto de Vista Cognitivo

Raymond Duval

Traducción: Hernández,Víctor y Villalba, Martha

PMME-UNISON. Febrero. 2001.

La geometría puede ser emocionante para los matemáticos y para cualquiera que guste de las matemáticas. Pero, ¿qué hay sobre la demás gente que debe aprender matemáticas en sus currículo? Esta pregunta surge cuando nos fijamos en las numerosas y profundas dificultades que encuentra el profesor. La enseñanza de la geometría es más compleja y con frecuencia menos exitosa que la enseñanza de las operaciones numéricas o álgebra elemental. De donde, ¿porqué enseñar geometría a todos los alumnos? Esta pregunta da por sentada otra más: ¿cómo debiera enseñarse la geometría? Con el fin de adelantar algunas ideas sobre este aspecto crucial debemos tomar en cuenta la complejidad cognitiva subyacente de la actividad geométrica.

La geometría involucra tres clases de procesos cognitivos que cumplen con funciones epistemológicas específicas:

*Procesos de visualización con referencia a las representaciones espaciales para la ilustración de proposiciones, para la exploración heurística de una situación compleja, para echar un vistazo sinóptico sobre ella, o para una verificación subjetiva;

*Procesos de construcción mediante herramientas: la construcción de configuraciones puede servir como un modelo en el que la acción sobre los representantes y los resultados observados están relacionados con los objetos matemáticos que éstos representan.

*El razonamiento en su relación con los procesos discursivos para la extensión del conocimiento, para la demostración, para la explicación.

Estos procesos diferentes pueden ser realizados separadamente. Así, la visualización no depende de la construcción: hay acceso a las figuras, de cualquier manera que hayan sido construidas. Y aún si la construcción guía a la visualización, los procesos de construcción dependen sólo de las conexiones entre propiedades matemáticas y las restricciones técnicas de las herramientas usadas. En última instancia, si la visualización es un recurso intuitivo que algunas veces es necesario para encontrar una demostración, el razonamiento depende exclusivamente del corpus de proposiciones (definiciones, axiomas, teoremas) de los que se dispone. Y, en algunos casos la visualización puede ser engañosa o imposible.

Sin embargo, estas tres clases de procesos cognitivos están cercanamente conectados y su sinergia es cognitivamente necesaria para la competencia en geometría.

Figura 1

Las interacciones cognitivas subyacentesinvolucradas en la actividad geométrica

En la Figura 1 cada flecha representa la forma en la que una clase de proceso cognitivo puede apoyar a otra clase en cualquier tarea. La flecha 2 está punteada porque la visualización no siempre ayuda al razonamiento. La flecha 5(B) enfatiza que el razonamiento B puede desarrollarse de una manera independiente. En muchos casos podemos tener un circuito más largo. Por ejemplo 2-5(B)-3 puede representar la forma de encontrar el orden de construcción para una figura dada; 4-2-5(A) o 5(B) puede representar formas de describir un orden de construcción.

Por tanto podemos ver el problema básico de la enseñanza de la geometría en escuelas anteriores y posteriores a las escuelas de nivel medio, como sigue: ¿cómo conseguir que los alumnos vean la comunicación entre estas tres clases de procesos? Las dificultades provocadas por la demostración son bien conocidas, y parece más natural favorecer primero los procesos de construcción y visualización. Pero esto provoca la siguiente pregunta general: ¿la práctica en cualquiera de las clases de procesos trae consigo el desarrollo para las otras dos clases?

Nuestra investigación nos ha permitido anteponer el siguiente marco de análisis:

1.Las tres clases de procesos deben ser desarrollados separadamente.

2.El trabajo en la diferenciación entre diferentes procesos de visualización y entre diferentes procesos de razonamiento es necesaria en el currículo, pues existen varias formas de ver una figura; de la misma manera hay varias formas de razonar.

3.La coordinación de estas tres clases de procesos puede ocurrir realmente sólo después de este trabajo de diferenciación.

1.Tópicos básicos en geometría desde un punto de vista cognitivo: Visión y razonamiento

Visión: ¿Es suficiente observar las imágenes y figuras para ver lo que ellas representan?

Lo que una figura deja ver es una o varias gestalt 1D/2D o 2D/2D (líneas rectas o curvas, el contorno cerrado de un triángulo, de un cuadrilátero, etc.) o gestalts 3D/2D (cubo, tazón, etc.). La identificación visual de estas gestalts depende de las leyes de la organización perceptiva, y todas estas gestalts pueden ser usadas para representar objetos reales u objetos matemáticos. Pero, con el fin de representar un objeto matemático, una figura debe llenar los siguientes dos requerimientos específicos:

*Ser una configuración, esto es ser una conjunción o una fuente de varias gestalts constituyentes con relaciones entre ellas que caractericen la configuración (condición visual)

*Estar anclada a una proposición que fije algunas propiedades representadas por la gestalt (hipótesis). Esta ancla discursiva proporciona la puerta de entrada matemática en la configuración (condición de prueba). Entonces, resulta obvia una primera distinción entre dos aprehensiones de una figura:

 


APREHENSIÓNPERCEPTUAL
APREHENSIÓN DISCURSIVA de una figura:

Asociación de gestalts y proposiciones que determinan el objeto representado

I. Visual
(cambio de anclaje)
II a. Visual Discursiva
II b. Discursiva Visual

La identificación de una gestalt 2D/2D. Puede ser vista como un techo, como la parte superior de una mesa, como un cuadrado en un plano distinto del frontal, como un paralelogramo, etc.

Las Gestalts son más fácilmente vistas como representaciones geométricas cuando están siendo construidas con herramientas (regla y compás, primitivas de algún software geométrico)

"ABCD es un paralelogramo"

En el contexto de una proposición geométrica, esta gestalt 2D/2D de varias gestalt constituyentes1D/2D (aquí las líneas como lados de un ...). La representación geométrica está dada a través de las relaciones entre las gestalt constituyentes. Esta es la razón del porqué las gestalt 2D son vistas más fácilmente como configuraciones en relación a su construcción. La aprehensión discursiva geométrica involucra un cambio dimensional en la aprenhensión perceptual de las gestalt 2D/2D.

"Sea ABCD un paralelogramo ... "

Varias configuraciones posibles para el objeto matemático "paralelogramo": las relaciones entre segmentos (las propiedades del objeto representado) son enfatizadas con marcas.

Figura 2

Diferentes accesos en una figura

Uno ve la diferencia significativa entre I por un lado, y II a - II b por el otro, los cuales son generalmente confundidos. En I es visto sólo una gestalt que puede mostrar cualquier objeto: techo, rectángulo desde una perspectiva particular, ... en II la misma gestalt debe ser vista como una configuración de varias gestalt constituyentes, cada una representando por ella misma un segmento o un punto porque la gestalt percibida se presenta como un paralelogramo. En consecuencia la visualización en II es totalmente diferente de I. En II la visualización requiere un movimiento interno entre la configuración predominante de la gestalt 2D y las gestalts constituyentes 1D/2D que emergen en una totalidad. Este movimiento interno implica un cambio dimensional en la organización perceptiva de la forma de ver. Este cambio dimensional interno no debe ser confundido con el cambiode anclaje implicado por los dos tránsitos II a y II b, los cuales no son equivalentes.

El cambio dimensional interno y el cambio de anclaje son las características del modo matemático de mirar a una gestalt o a una configuración.

Cómo trabaja la visión en la solución de problemas: la aprehensión operativa

En una figura geométrica existen más gestalts constituyentes y más subconfiguraciones posibles que aquellas que fueron explícitamente movilizadas para su construcción o las que son explícitamente nombradas en la hipótesis (Duval [5] p. 182). Es este excedente lo que crea el poder heurístico de las figuras: algunas subconfiguraciones (o algunas gestalts consituyentes) dan las ideas clave para una solución o para una explicación. Desde el punto de vista cognitivo surge la pregunta sobre la visibilidad de estas subconfiguraciones relevantes: ¿cómo pueden ser distinguidas?

Para entender este proceso cognitivo, podemos comparar tres problemas elementales.

Problema 1. Toma un paralelogramo ABCD. I y J son los puntos medios de CD y AB. Demuestre que los segmentos DP, PQ y QB son de la misma longitud.

En esta figura inicial pueden ser vistas muchas subconfiguraciones. Pero las siguientes deben ser distinguidas y seleccionadas para la solución.

Figura 3

Subconfiguraciones relevantes para el Problema 1

El poner la atención sobre las subconfiguraciones relevantes BC requiere que uno haya pensado explícitamente en un teorema, el teorema de los medios. Hemos observado estudiantes de 13-14 años que no pueden verlas en la figura inicial (incluso después de una discusión para explicar porqué DP = PQ y PQ = QB). Aquí, estamos en una aprehensión discursiva con anclaje en las proposiciones (visual discursiva): la distinción de subconfiguraciones es traída al punto por definiciones y teoremas aplicables. La figura juega sólo el rol de un recurso intuitivo para la aplicación de las proposiciones.

La situación es totalmente distinta en el Problema 2 donde no es necesario un conocimiento explícito (definición, teorema, ...) para ver la figura y para encontrar las subconfiguraciones relevantes: podemos explorar completamente la situación tanto en una aprehensión visual como en una aprehensión visual discursiva:

Problema 2. En la siguiente figura, AC es la diagonal del rectángulo ABCD. Compare las áreas de los dos rectángulos grises, cuando el punto U se mueve sobre la diagonal.

En esta figura inicial pueden ser vistas muchas subconfiguraciones y gestalts constituyentes 1D/2D (o 0D/2D). Pero para la solución, deben ser distinguidas las siguientes.

Figura 4

Subconfiguraciones relevantes para el Problema 2

Las subconfiguraciones A y son identificadas rápidamente y permanecen invariantes cuando el punto U se mueve sobre las diagonales. Las subconfiguraciones B y están incluidas respectivamente en A y y perceptualmente sobrepuestas, sin importar la posición del punto U sobre la diagonal. No es necesaria la referencia a conocimiento geométrico explícito para ver esto en la figura inicial. Aquí la visión puede ser el único proceso guía en la resolución del problema. La principal dificultad concierne a la identificación de las subconfiguraciones B y (Mesquita [8]). Hemos observado que existen varios factores que disparan o inhiben la distinción o la visibilidad de una subconfiguración en una figura inicial. La complementariedad (si o no) de las gestalts constituyentes para las subconfiguraciones y la convexidad (si o no) de las subconfiguraciones están entre estos factores (Padilla [10]). Aquí las subconfiguraciones B y están compuestas por dos gestalts no complementarias y no son convexas. También parecen estar enmascaradas por otras subconfiguraciones que son visualmente predominantes. De lo que se sigue la gran dificultad de los alumnos de 12-13 años y aún mayores para encontrarlas. Sin embargo, en estos dos problemas no se requiere un cambio figural real, nada de la figura inicial debe ser adicionado o transformado: todas las subconfiguraciones relevantes ya están dadas con la figura inicial. Este no es el caso en la siguiente situación, una prueba bien conocida del teorema de Pitágoras.

Pruebe que en un triángulo rectángulo .

Figura 5

Una antigua y clásica prueba

El triángulo rectángulo debe ser incluido primero en un una configuración más grande, un cuadrado externo de lado con un cuadrado interno de lado igual al tercer lado del triángulo rectángulo. Este es un cambio figural real. Después, esta configuración mayor debe ser reconfigurada cambiando algunas gestalts constituyentes, de tal manera que el cuadrado interno aparezca dividido en dos cuadrados más pequeños de áreas . El primer cambio figural implica, como en el Problema 1, un anclaje discursivo. Este anclaje es realizado por las propiedades establecidas en la relación . El segundo cambio figural depende únicamente de las posibilidades de reorganización de las gestalts constituyentes. Aquí la gestalts constituyentes de la configuración incluida se cambian como piezas de un rompecabezas con el fin de obtener otra configuración que sea relevante para la solución. En el contexto de un problema dado, una o varias reorganizaciones particulares son relevantes mientras que otras no lo son. Podemos llamar a este cambio figural la aprehensión operativa (Duval [1][4]). El más importante e interesante punto en todo esto, es que la aprehensión operativa puede ser más o menos visible y que de su visibilidad dependen tanto el disparo y la inhibición de factores como la distinción previa de subconfiguraciones. Es este cambio figural o aprehensión operativa de una figura, lo que brinda a la visión su poder heurístico en la solución de problemas.

Estos tres ejemplos como cualquier ejemplo son evidentemente muy simples y limitados a algún campo particular del conocimiento geométrico. Y uno puede fácilmente imaginar la creciente complejidad de visualización mediante figuras que representen situaciones geométricas más ricas. Pero lo que debemos señalar a través de estos ejemplos, concierne al fenómeno general acerca de la visualización en geometría. Consecuentemente la visualización en geometría implica necesariamente al menos uno de los tres cambios acerca de lo que se ve: cambio dimensional, cambio figural, cambio de anclaje.

El cambio dimensional es el más obvio. Al menos en la geometría del espacio donde uno necesita primero distinguir las diferentes secciones planas posibles de un sólido, por ejemplo, con el fin de seleccionar el más relevante. De hecho, de la identificación de un plano en una representación 3D/2D emerge un problema muy importante que concierne también a los primeros pasos en la representación geométrica del espacio (Rommevaux, [13]). Y el cambio desde una percepción sensorio motriz de un objeto 3D a su representación 3D/2D nunca es evidente ni inmediata: hay un largo caminoque va a través de las representaciones del plano. Aquí debemos explicar solamente el cambio dimensional implicado en la geometría plana: ¡una gestalt 2D debe ser vista como una configuración de una gestalt 1D o 0D! . En la geometría plana, como en la geometría del espacio, el cambio dimensional es un proceso cognitivo básico de la forma como uno ve una representación figural. Y podemos llevar más adelante la tesis de que la visualización en geometría cumple cabalmente un rol heurístico cuando los objetos o propiedades matemáticas que son relevantes para una demostración pueden ser vistas en una configuración de una dimensión mayor que la dimensión de las gestalts o subconfiguraciones que representan esos objetos en la figura inicial. Y con el fin de ilustrar este punto, tenemos aquí el siguiente problema de geometría plana [Mesquita, [9] p. 135]):

Construir un cuadrado inscrito en un triángulo

Figura 6

En este problema encontrar la desviación a través de la configuración plana homotética es más natural cuando uno puede ver a mayor profundidad (Lémonidis [7]). El cambio dimensional es como un movimiento interno y escondido hacia arriba y hacia abajo en el número de dimensiones para la aprehensión visual de una configuración.

El cambio figural, o aprehensión operativa, es el más complejo y puede ser el menos consciente. Se debe distinguir de la aprehensión perceptual con la cual se conecta, y de la aprehensión discursiva (la cual está anclada en las hipótesis y en el conocimiento de definiciones, teoremas, ...) de la cual está completamente separada. Esto concierne a un proceso figural específico. Hasta ahora hemos identificado tres grandes clases de cambios figurales, con algunas operaciones para cada uno de ellos, y para cada operación algunos factores que disparan o inhiben su visibilidad (Duval, [4] p. 148). Esto le da significado a analizar la contribución heurística de una figura inicial para un problema específico y para esperar las dificultades y los obstáculos que ésta pueda generar (Duval [4], 149-154; Padilla [11]). El cambio figural es como una acción que transforma la organización visual de una configuración.

El cambio de anclaje en la aprehensión discursiva es la más familiar. Vemos y hablamos (en voz alta o mentalmente) acerca de lo que estamos observando. Consecuentemente la distinción visual hace surgir palabras al menos implícitamente, y las palabras mentalmente pronunciadas pueden cambiar el foco de atención hacia algunos no advertidos en la figura. Este cambio de anclaje con frecuencia se da sin ser notado. ¡Ay de los que enseñan geometría! Porque un alumno no tiene el mismo discurso interior acerca de las gestalts y configuraciones identificadas perceptivamente como el que tiene un matemático. Y hay relaciones entre el discurso interno y el razonamiento. Observar un figura puede ser suficiente para entender una situación geométrica o para estar convencido solamente cuando todos estos cambios pueden ser realizados e integrados. Pero,¿hay una forma natural y común de observar cualquier representación figural, no importa que haya sido producida material o mentalmente? ¿Puedo (alumno) ver lo que tu (profesor) ves sin que me lo tengas que explicar y sin que yo te tenga que señalar lo que pude haber visto? Este es el asunto ...

¿Qué es el razonamiento en geometría?

La palabra "razonamiento" es usada en un rango muy amplio de significados. Cualquier movimiento, cualquier ensayo y error, cualquier procedimiento para solucionar una dificultad, con frecuencia es considerado como una forma de razonamiento. Más específicamente, cualquier procedimiento que nos permite desprender nueva información de informaciones dadas es considerada como "razonamiento". De esta manera, la inducción, la abducción, la inferencia son varias formas de razonamiento.

Desde un punto de vista cognitivo hay diferentes clases de procesos que dependen de la forma en la cual la información es presentada y también de la manera en que la información puede ser organizada (Duval, [5]). 

En geometría la información disponible se da bajo una organización visual de gestalts nD/2D y bajo algunas redes semánticas desde las cuales no solamente pueden ser nombradas las gestalts y los objetos, sino también desde las pueden ser generadas preguntas, hipótesis, conjeturas acerca de las gestalts, los objetos y sus relaciones. Y esta información dada debe ser procesada en un nivel representacional y simbólico, aún si algunos modelos pueden ser físicamente construidos. De aquí que nuestro cuestionamiento se transforma: ¿qué son los procesos cognitivos en geometría involucrados en la solución de problemas y en las demostraciones?. Debemos distinguir tres procesos cognitivos:

1.Un proceso puramente configural, descrito arriba como una aprehensión operativa;

2.un proceso discursivo natural que es espontáneamente realizado en la comunicación ordinaria a través de la descripción, explicación, argumentación;

3.un proceso discursivo teórico que es realizado a través de la deducción. La experiencia de la necesidad lógica está cercanamente conectada a este proceso teórico. Puede ser realizada en un registro puramente simbólico o en el registro de la lengua natural. Pero estos dos registros no proveen ni la misma dificultad ni el mismo significado para los alumnos.

Ya hemos enfatizado el hecho de que una aprehensión operativa es completamente independiente de cualquier proceso discursivo. Esta es la razón de que la visualización sea un proceso irreducible para la investigación en geometría. Pero la visualización puede ser encajada en un proceso discursivo natural (Figura 1, flecha 5 (A)): lo que algunas veces es designado como "razonamiento figural" es más bien una clase de descripción espontánea de un proceso puramente configural. Por el contrario, un proceso puramente configural no puede ser encajado en un discurso teórico aún cuando algunas veces proporciona las ideas claves para una demostración. Y, lo que es más importante, hay una brecha entre el proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico (Duval [3], [5]). Uno de los principales problemas de la enseñanza de la geometría es la inhabilidad para hacer que la mayoría de los alumnos logren saltar esta brecha. Y algunas veces los profesores no tienen una clara advertencia de la diferencia significativa de trabajar entre el proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico. Nos enfocaremos ahora brevemente en estos dos procesos.

El razonamiento como un proceso discursivo natural en el que se encaja un proceso puramente configural

Con el fin de simplificar la presentación regresemos al Problema 2. Un proceso puramente configural nos permite distinguir todas las posibles configuraciones, aún las menos directamente visibles, y nos permite reconocer las que son relevantes en el contexto del problema (Figura 4). Pero esto no es suficiente para resolver el problema. Se necesitan operaciones de otra naturaleza. Éstas se muestran el la siguiente secuencia donde las operaciones discursivas básicas están marcadas con negritas.

Figura 7

Podemos observar dos niveles de organización:

*un nivel global en tres pasos I, II y III que se ven como tres proposiciones.

*un nivel local interno a cada paso: subconfiguraciones que se ven como palabras y el conector "y", así como los símbolos verbales abreviados ("=" significa "produce" y "-" significa "quitar de") son necesarios con el fin de organizar un paso. Debemos recalcar que la igualdad entre dos subconfiguraciones similares puede resultar de un traslape visual.

Podemos hacer la presentación lingüística de esta secuencia más explícita, simplemente describiéndola.Esto es lo que los alumnos de 12-13 años hacen con más o menos precisión a través de su argumentación oral o escrita (Mesquita [9]). Evidentemente son posibles otras secuencias para este problema y pueden ser expresadas mediante otros argumentos. Pero nos hemos referido a la misma forma de razonamiento. Aquí la visualización y la verbalización espontánea están muy cerca una de la otra. Éste no es el caso con los procesos de discurso teórico.

El razonamiento como un discurso teórico con un proceso deductivo

En geometría, razonar con el fin de demostrar requiere dos condiciones críticas:

1.Usar proposiciones, cada una con un estatus teórico específico anterior: axioma, definición, teorema, hipótesis, conjetura, etc.

2.usar solamente teoremas, axiomas o definiciones para dar un paso hacia la conclusión.

En otras palabras, aquí la forma en que la información está dada es diferente: pueden ser solamente proposiciones. Y la organización es totalmente diferente. Tenemos tres niveles de organización:

*Un nivel global en el que los pasos son ligados de acuerdo a su conclusión;

*Un nivel localen el que al menos las tres proposiciones son organizadas de acuerdo a su estatus (hipótesis o conclusión previa, definición o teorema, conclusión local);

*Un micro-nivel interno a las proposiciones usadas como reglas (definiciones, teoremas, ...) en las que uno debe distinguir dos partes, la parte de condiciones a verificar y la que es una conclusión a establecer.

No hay nada en común entre las organizaciones de un nivel local en un proceso discursivo natural y en un proceso discursivo teórico. Primero, porque las proposiciones están ligadasde acuerdo a sus estatus. Segundo, porque esta organización trabaja por sustitución de proposiciones como en un cálculo y no por asociación u oposición como en el discurso natural (Duval [3]).

Eso no es una forma natural de razonamiento. Está muy lejos de aquel usado en una discusión, o en la vida diaria. Ligar proposiciones de acuerdo a sus estatus va muy frecuentemente en contra de las asociaciones espontáneas o evidentes. Y los axiomas, teoremas o definiciones no son argumentos para sostener una tesis o una opinión: el usar un teorema requiere primero operaciones de verificación y solo en tanto cuanto el teorema incluye condiciones. Muchos alumnos no pueden distinguir este proceso deductivo teórico del proceso discursivo más natural, incluso cuando su mención de definiciones o teoremas sea en una forma aparentemente correcta. A ellos les parece que es una demanda inútil y artificial de sus profesores. Pero aquellos que descubren el proceso deductivo, especialmente a niveles local y micro de organización de las proposiciones, tienen la experiencia personal de la necesidad lógica de la conclusión y del poder de esta forma de razonamiento. Ellos perciben la naturaleza y la fortaleza de su cambio de convicción (Duval [2], [5], p. 224-231).

Y ahora volvamos a nuestras dos preguntas sobre visualización y razonamiento en geometría

En geometría, la visualización cubre tanto la aprehensión perceptiva, discursiva y operativa de una figura como una representación del espacio. Y porque no requiere conocimiento matemático, la visualización juega un rol heurístico básico y a través de la aprehensión operativa, puede proporcionar algo parecido a la evidencia convincente. ¿Cuáles son estas relaciones con las diferentes clases de razonamiento? A fin de dar una presentación corta, podemos empezar desde los dos comportamientos típicos siguientes:

 

Comportamiento ingenuo
Aprehensión perceptiva de una configuración gestáltica0

1
¿cambio dimensional 

cambio de anclaje?

Una aprehensión discursiva entre otras posibles

Aprehensión operativa según las operaciones más visibles, pertinentes o no para la aprehensión discursiva
2
Un proceso discursivo natural que aloja el proceso configural realizado
Comportamiento matemático
Aprehensión perceptiva de una configuración gestáltica0

1
¿cambio dimensional 

cambio de anclaje?

Una aprehensión discursiva entre otras posibles

Aprehensión operativa con las operaciones pertinentes más allá de los factores que disparan o inhiben la visibilidad
2´2´
3
Un proceso discursivo teórico

Figura 8

Dos comportamientos típicos

c
b
b
En la Figura 8, empezando de la misma situación geométrica (a la izquierda), son posibles dos comportamientos totalmente diferentes. Uno reacciona a lo que es espontáneamente visible (0) y el razonamiento trabaja como una descripción de los pasos del cambio configural que guía a la solución (2). En el otro, el razonamiento empieza sólo de la aprehensión discursiva y es independiente de la visualización (3). El cambio puramente configural no proporciona los pasos y la organización del razonamiento deductivo para la demostración, pero muestra algunos puntos clave, o una idea que permite seleccionar el teorema principal a ser usado (flecha punteada 2´).

Para nuestro tópico deben ser notadas dos cosas:

*Para algunas situaciones geométricas el comportamiento ingenuo es eficiente, pero bajo condiciones muy estrechas. La brecha entre la aprehensión discursiva y la discursiva, debida al cambio dimensional y al cambio de anclaje, debe ser pequeña (flecha 1 en la Figura 8). Y los factores que disparan la visibilidad de las operaciones pertinentes deben ser más fuertes que aquellos que las inhiben.

*Existe una doble brecha entre el comportamiento ingenuo y el comportamiento matemático. La primera es sobre la visualización y la segunda es sobre el razonamiento.

De aquí que deban ser desarrolladas algunas habilidades específicas de la forma común de ver las figuras y del razonamiento discursivo natural. Sería una ilusión pedagógica a causa de la visualización el plantear un comportamiento a través de la aparición de un comportamiento ingenuo (o en continuidad con él). El problema principal para le enseñanza y el aprendizaje de la geometría es cómo lograr que los alumnos caminen sobre esta doble brecha.

2.Problemas de aprendizaje y tareas de educación en geometría desde un punto de vista cognitivo

Antecedentes al problema

Debemos corregir tres ampliamente supuestos principios en los estudios de matemáticas educativas, a través de algunas presentaciones del constructivismo y en algunos usos de la clasificación de los van Hiele.

1.No hay una correspondencia significativa entre el desarrollo del pensamiento y la construcción de cualquier conocimiento disciplinar, y consecuentemente entre un nivel de pensamiento y un nivel de conocimiento. Desde un punto de vista desarrollista, o desde un punto de vista cognitivo, un nivel de pensamiento está descrito en términos de estructuras operativas generales, de habilidades, de capacidades limitadas, y existe el criterio de maduración que se corresponde con la adolescencia. Desde un punto de vista epistemológico, un nivel de conocimiento es relativo al campo disciplinar específico donde no está limitado el progreso en nuevas nociones, nuevos objetos, nuevas organizaciones teóricas.

2.No existe una jerarquía de desarrollo entre las diferentes clases de actividades cognitivas: visualización, razonamiento discursivo natural, razonamiento deductivo teórico, pruebas axiomáticas formales, procesos analíticos o sintéticos. De hecho, desde los niveles representativos (alrededor de 2-3 años de edad) hasta los niveles más maduros, tenemos procesos de visualización, habla, razonamiento, análisis y síntesis. Y si existen algunas interacciones entre ellos, o aún si alguno parece predominar sobre los otros en contextos particulares, estos tienen desarrollos específicos e independientes. No es necesario repetir aquí lo que hemos explicado sobre la visualización, la cual no es sólo una aprehensión perceptiva de gestalts. El desarrollo del pensamiento es multimodal y no unimodal. Esto regula cualquier modelo de desarrollo en el cual pudieran ser organizadas diferentes clases de actividades en una jerarquía estricta desde lo concreto hasta las más abstractas, desde la visualización hasta el rigor axiomático. Todas las representaciones semióticas, incluso las analógicas, ya son abstractas. Y muy frecuentemente lo que uno llama `concreto ´ es lo que se ha transformado en `familiar ´.

3.Los conceptos y las representaciones semióticas (figuras, diagramas, lenguajes naturales y simbólicos) no pueden ser opuestos como entidades mentales versus entidades materiales o como entendimiento versus comunicación. Los procesos matemáticos requieren el uso de diferentes registros de representaciones semióticas. A desde un puntos de vista cognitivo el desarrollo del pensamiento y el aprendizaje son logrados a través de una interiorización de varias representaciones semióticas. Esto es el porqué las representaciones mentales y las representaciones materiales no pueden ser opuestas realmente. Ambas son representaciones semióticas. Su diferencia descansa en sus modos y en sus costos de producción, pero no en su naturaleza.

El proceso de desarrollo del pensamiento: diferenciación y coordinación de registros semióticos de representación

Piaget ha establecido que el primer desarrollo cognitivo es logrado a través de la diferenciación y coordinación de esquemas [12]. En niveles posteriores, el desarrollo implica una diferenciación de los primeros registros semióticos, el lenguaje nativo y la representación icónica de formas, y su coordinación. Hemos enfatizado las dos brechas entre el comportamiento ingenuo y el comportamiento matemático en geometría. No existe un cambio progresivo desde uno al otro.

Para la visualización es necesario diferenciar entre la aprehensión discursiva y la aprehensión operativa. ¿Cómo hacer que los estudiantes aprendan a ver el cambio configural pertinente más allá de los factores que disparan o inhiben su visibilidad? Cuando estos factores han sido identificados previamente, este aprendizaje cobra factibilidad y dan lugar a diversas transferencias (Lémonidis [7], Padilla [11]). Para el razonamiento es necesario hacer que los estudiantes descubrancómo se organiza el razonamiento deductivo y porqué esto no funciona como una argumentación o una explicación en los otros campos del conocimiento (geología, botánica, química, mecánica, historia). Esta organización no es realmente visible en las expresiones del lenguaje natural. Pero es en las expresiones en lenguaje natural que los alumnos pueden advertir esta organización específica y de su proceso (Duval [2], [5] p. 217-231) . Esta es la condición para la diferenciación del razonamiento deductivo teóricos de otras clases de razonamiento. Y no existe nada formal en este aprendizaje. Una coordinación puede ocurrir sólo cuando el alumno puede hacer estas diferenciaciones.

Tareas de la educación en geometría

Podemos regresarnos ahora a nuestra pregunta inicial: ¿porqué enseñar geometría? Hay muchas buenas razones para enseñar geometría y para enseñar más geometría. Hay tantas razones para enseñar geometría como existen posibles aplicaciones en tecnología o en el mundo real. Pero estas son buenas razones sólo para algunos alumnos, para los matemáticos, ingenieros, etc. Y no son suficientes para hacer que muchos alumnos realmente aprendan y entiendan. Allí está la complejidad cognitiva de la geometría. La enseñanza de la geometría tiene con demasiada frecuencia este extraño efecto de hacer retroceder a los alumnos. ¡Muchos estudiantes pierde la eficiencia del comportamiento ingenuo sin tener éxito en obtener una idea del comportamiento matemático! En estas condiciones, ¿porqué aprender geometría cuando muchas otras materias (lenguas nativas y extranjeras, historia, ciencias) también deben ser aprendidas? Es la complejidad cognitiva subyacente la que proporciona el interés básico de la geometría. La significación de la geometría, para cualquiera que no planea transformarse en un matemático o en un ingeniero, es desarrollar habilidades de razonamiento y de representación visual y favorecer la sinergia de estos dos procesos totalmente diferentes.

¡Y esto más allá de los contenidos particulares de tal y tal conocimiento! La geometría, más que otras áreas en matemáticas, puede ser usada para descubrir y desarrollar diferentes formas de pensamiento. Esta debe ser una tarea esencial para la enseñanza de la geometría. Pero se requiere obtener una práctica amplia y bien balanceada de estos procesos cognitivos subyacentes. Esto significa que se requieren situaciones específicas de aprendizaje para la diferenciación y coordinación entre varias clases de procesos en visualización y en razonamiento.

¿Qué hacer en el futuro?

Hemos enfatizado la complejidad cognitiva de la geometría. Pero ¿el problema de la enseñanza cambia completamente con el nuevo ambiente computacional?El recurrir a la computadora constituye una gran innovación para la enseñanza de la geometría. Las computadoras posibilitan enormemente la visualización, particularmente a través de los aspectos de movimiento (Laborde [6]). Y, como esta herramienta disocia el momento de intención (el sujeto sólo tiene que elegir una instrucción en las primitivas de un software geométrico) y el momento de producción que es ejecutado por la computadora, se abre como una aproximación `experimental ´ en geometría. Cada uno puede confrontar sus anticipaciones con los resultados en la pantalla. Eso es sorprendente para las tareas de construcción. Las aproximaciones manuales, incluso con regla y compás ya no son posibles, porque algunas propiedades matemáticas están asociadas fuertemente con restricciones técnicas. Con las computadoras, es posible una verdadera exploración de las situaciones geométricas, los objetos geométricos son un poco como objetos reales que pueden ser manipulados. Pero, hasta el momento, el software geométrico está enfocado principalmente a la construcción. Y si la construcción da un gran lugar a la aprehensión discursiva y a la aprehensión secuencial de una figura, no desarrolla todas las funciones de la visualización, y en particular la `aprehensión operativa ´.

A fin de obtener, de conocer, formas eficientes de investigación de esta tarea esencial de la enseñanza de la geometría en las escuelas primarias y secundarias, aún se requiere mucha investigación de los procesos profundos de desarrollo y aprendizaje de la visualización. Estos son los pasos necesarios al futuro.

REFERENCIAS

[1] Duval, R., Aproache cognitive des problèmes de géométrie en termes de congruence, Annales de Didactique et de Sciencies cognitives, 1, 57-74, 1988.

[2] Duval, R., Strucutre du raisonnement déductif et apprentissage de la Démonstration, Educatonal Studies in Mathematics. 22, 3, p. 233-261, 1991.

[3] Duval R., Argumenter, démonstrer, expliquer: continuité ou rupture cognitive, Petit x 31, 37-61, 1992.

[4] Duval, R., Geometrical Pictures: kinds of representation and spedific proceses, in Exliting Mental Imaginery with Computers in Mathematic Education (Sutherlan & Mason Eds), Springer p. 142-157, 1995.

[5] Duval, R., Sémiosis et penseé humaine, Peter Lang, Berne, 1995.

[6] Laborde, C., enseigner la géométrie, Bulletin de l´A.P.M.E.P., 396, 523-548, 1994.

[7] Lémonidis, E.D., Conception, réalisation et resultants d´une experience d´ensignement de l´homothétie, Thèse U.L.P.: Strasbourg, 1990.

[8] Mesquita, A., Sur une situation d´éveil à la déduction en géométrie, Educational Studies in Mathematics, 20, 55-77, 1989.

[9] Mesquita, A., L´inflluence des aspects figuratifs dans l´argumentation des eleves en géométrie: éléments pour una typologie, Thèse U.L.P.: Strasbourg, 1989.

[10] Padilla, V., Les Figures aident-elles à voir en géométrie?,Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 3, 223-252, 1990.

[11] Padilla, V., L´influence d´une acquisition de traitements purement figuraux pour l´aprentissage des mathématiques, Thèse U.L.P.: Strasbourg, 1992.

[12] Piaget, J., La naissance de l´intelligence chez l´enfant, Delachaux, Neuchatel, 1968.

[13] Rommevaux, M.P., Le discernement des plans: un seuil decisive dans l´aorentissage de la géométrie tridimensionnelle, Thèse U.L.P.: Strasbourg, 1997.