El camino a seguir

Vinicio Villani en representación del Comité Internacional del Programa

Traducción: Hernández,Víctor y Villalba, Martha

PMME-UNISON. Febrero. 2001.

Wer von uns würde nicht gern den Schelier lüften, unter dem die Zukunft verbogen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unserer Wissenschaft und in die Gehimnisse ihrer Entwincklung während der künftigen Jahrhuderte! Welche besonderen Ziele weden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschläster nachstreben? (David Hilbert, Mathematische Probleme. Vortrag gehalten auf dem Interationalem Mathematikerkongress zu Paris, 1900)[1]

¡Ni aún Hilbert, uno de los más matemáticos más conocidos del siglo antepasado tuvo acceso a una bola de cristal para ver el futuro de la investigación en matemáticas! Las soluciones encontradas algunas décadas posteriores para algunos de los 23 mundialmente famosos problemas que él propuso a la comunidad matemática en el discurso mencionado arriba, han tenido diferencias inherentes a las que Hilbert mismo había conjeturado. Piénsese solo en una de las inesperadas respuestas "negativas" de Paul Cohen y de Kurt Gödel a sus primeros dos problemas (sobre la "Hipótesis del Continuo" y sobre "La Consistencia de los Axiomas Aritméticos").

Si hay dificultad al tratar de predecir el futuro de la investigación matemática puede ser aún más difícil tratar de predecir el futuro de la educación matemática, ya que ésta es un campo que está sujeto a una variedad de factores aún más amplia, tanto intrínsecos como extrínsecos a la disciplina específica. ¿Quién por ejemplo, podría adivinar hace sólo cincuenta años que la regla y el compás serían excluidos de todos los lugares de trabajo profesional de ingenieros y técnicos por el uso de las herramientas gráficas CAD? ¿O que habría una rebelión (después suavizada al menos parcialmente) contra la enseñanza de la geometría en el estilo Euclideano? ¿O, posteriormente, que el avance en las técnicas geométricas se convertiría en una herramienta esencial para el mejoramiento de imágenes tradicionales de rayos X por métodos estratigráficos?

A pesar de las dificultades en hacer pronósticos a largo plazo, no podemos permanecer inactivos en nuestra práctica de enseñanza conforme pasa el tiempo.

Los cambios en la enseñanza de la geometría son impuestos no sólo por las nuevas concepciones en los fundamentos de la geometría y por la creciente advertencia del rol central de las metodologías apropiadas para la enseñanza, sino también por los cambios en las expectativas de la sociedad, por el cambio en las necesidades en los lugares de trabajo y por el firme progreso de la ciencia y la tecnología.

Por ello es necesario y urgente buscar un hilo conductor que nos permita transitar desde un pasado reciente hasta un futuro cercano. En este espíritu, vamos ahora a enumerar algunos descubrimientos específicos que emergen de los capítulos previos y más generalmente de la literatura educativa internacional concerniente a la geometría. Pero estamos concientes de que surgieron muchos cuestionamientos, por ejemplo, en el Documento de Discusión del ICMI (impreso en el Apéndice) permanecen abiertas,y que serán necesarios algunos ajustes y cambios de ruta para pasar de propuestas generales a acciones concretas para el mejoramiento de la enseñanza de la geometría.

1.Una de las particularidades de la geometría es la variedad de sus aspectos (como se señaló en la Sección II del Documento de Discusión del ICMI) y también la variedad de los posibles modos para su enseñanza, en dependencia de las prioridades de las metas que queramos atender y de los tipos de alumnos o estudiantes a quien se dirija. Lo que es cierto y bien documentado en la literatura es que para cada nivel educativo, desde el Jardín de Niños, existen partes de la geometría que pueden (y debieran) ser enseñadas y aprendidas exitosamente (ver por ejemplo Capítulos 2 y 5).

Advertimos que con el fin de acceder a un entendimiento global de los principales hechos, conceptos procedimientos y estrategias en geometría, será necesario regresar una y otra vez a los mismos tópicos en diversos niveles, con una especie de proceso espiral. Pero este hecho no debiera considerarse con un sentido de frustración. Lo que realmente importa en los procesos de enseñanza y aprendizaje son los efectos a largo plazo. Sería un serio error evitar el tratamiento de ciertos tópicos bajo el pseudo-pretexto de que el mismo tópico será tratado después en niveles escolares posteriores, en contextos más generales y sistemáticos. Este comportamiento sería sumamente dañino, ya que los estudiantes perdería conocimiento preliminar necesario como un punto de partida para el nivel subsiguiente. Como R. Thom acaba de señalar en el ICME 2: De acuerdo a la ley de recapitulación de Haeckel(la que sostiene que la ontogénesis recapitula la filogénesis) la pedagogía debe buscar la recreación de experiencias fundamentales que desde los albores del tiempo histórico han dado lugar al nacimiento de las entidades matemáticas.[2]

La aseveración de Thom puede ser parafraseada como sigue: Si el proceso de enseñanza - aprendizaje ha sido significativo para los aprendices y no sólo un juego formal, uno no debe saltarse ninguna parte intermedia de la vía que condujo gradualmente desde los aspectos concretos e intuitivos hasta la geometría abstracta y deductiva.

2.Construir un currículo es muy difícil y demanda tareas que deben involucrar a matemáticos, profesores, expertos educativos que tengan un profundo conocimiento de las necesidades reales y las expectativas de la comunidad específica para la cual el currículo deberá ser diseñado (ver Capítulo 7). Las fallas de muchos currícula matemáticos están todavía ante los ojos de todo el mundo. Estos currícula fueron impuestos por procedimientos verticales sin tomar en cuenta las opiniones y las experiencias del trabajo de los profesores (ver Capítulo 6). No nos asombra que las fallas ocurren también cuando las currícula son transplantadas en bloque desde un país a otro, típicamente desde un país dominante hacia el área de su influencia en otras partes del mundo.

Cualquier currículo, a fin de ser efectivo, deberá tener coherencia interior, de otra manera los procesos de aprendizaje descienden a un estadio de aparador de nociones sin relación. Esta observación se aplica a los currícula de cada materia en cualquier área, pero es especialmente verdadera para la geometría debido a la gran diversidad de sus aspectos. Podríamos sugerir una analogía con la travesía de un autobús: Si usted viene de la escuela con algún estado de ánimo en particular, es deseable que disfrute su trayecto, de tal manera que espere disfrutarlo otra vez. Consecuentemente, los planificadores del currículo deben hacer selecciones coherentes concernientes a metas, contenidos y métodos; los autores de libros de texto deben hacer selecciones didácticas mientras implementan los currícula prescritos y los profesores deben hacer selecciones adicionales, y establecer prioridades en el momento de la transposición didáctica. Para hacer estas elecciones y establecer estas prioridades, las variables relevantes a ser consideradas no son solamente los niveles escolares y las edades de los alumnos, sino aspectos culturales, lingüísticos y socioeconómicos así como también su factibilidad dependiendo globalmente de la estructura del sistema local de educación, de la preparación de los profesores, de la disponibilidad de recursos tecnológicos y cosas por el estilo.

Por todas estas razones sería impropio declarar que es posible elaborar un currículo de geometría de validez universal, es posiblemente dar luz sobre algunos aspectos generales sobre los cuales hay un amplio consenso internacional. Sin embargo, algunos ejemplos cuidadosamente formulados de currículos seleccionados de cinco países son presentados y comentados en el Capítulo 7.

Como se acaba de establecer arriba, un currículo debe sostener una coherencia interna. Sin embargo, algunas discontinuidades son inevitables en el proceso desde un estadio al siguiente. Por ejemplo, cuando uno pasa desde una fase visual, temprana, ingenua y ligada a la manipulación concreta a una más avanzada y de punto de vista teórico, él "contrato didáctico" cambia repentinamente: los alumnos que hasta entonces se les había pedido "ver" las propiedades geométricas de una configuración a través de un dibujo, deben ahora empezar a deducir estas propiedades usando argumentación lógica. Estas discontinuidades, a fin de ser efectivas y no desorientar a los alumnos, deben ser motivadas a través de mostrar a cada paso que lo nuevo es un mejoramiento de lo anterior. Esto se aplica también por supuesto a las relaciones entre los métodos sintéticos y analíticos.

3.A nivel elemental la geometría no debiera ser limitada sólo a cierta terminología, en su lugar sería deseable que desde los grados más tempranos la enseñanza de la geometría pudiera ayudar a los alumnos a mejorar sus habilidades espaciales y a promover experiencias en la medida de longitudes, áreas y volúmenes para hacerlos gradualmente cobrar confianza en el uso de las unidades internacionales (métricas). La práctica con la regla, el compás y el transportador es aún deseable, a pesar del posible uso de recursos de cómputo. Más aún, desde la primaria, es perfectamente factible involucrar a los alumnos en actividades de clasificación, por ejemplo al identificar simetrías y regularidades de formas geométricas simples.

En la secundaria (edad 15 años), la geometría no debiera estar limitada sólo al aprendizaje por repetición de algunas fórmulas para áreas y volúmenes. En este nivel escolar sería deseable que los alumnos se dieran cuenta de las principales propiedades de las isometrías y las semejanzas y que cobraran experiencia en alguna de las primeras instancias de razonamiento deductivo (por ejemplo una prueba del clásico teorema de Pitágoras).

En la escuela secundaria superior (edad 15), la geometría no debiera ser limitada sólo a la formalidad de "pruebas de dos columnas"[3] ni solamente al álgebra lineal. Sería deseable que los alumnos empezaran a conocer al menos secciones cónicas tanto como aplicaciones significativas de la geometría. De hecho las gráficas por computadora podrían ahorrar mucho tiempo al mostrar las propiedades de las cónicas.

En diversas secciones de este libro (ver Capítulos 2,3,4 y 5)se encuentran sugerencias adicionales para actividades menos tradicionales de todos los grados, desde el principio de la escuela elemental hasta el final de la escuela secundaria.

4.Podemos aseverar sin duda alguna que la geometría no debiera solamente tratar con formas bidimensionales. Y más aún, que la geometría bidimensional no sólo debiera tratar con el "microespacio" de una hoja de papel o de la página de un libro. (Ver Capítulos 2 y 5). Por el contrario y especialmente durante los primeros grados escolares, el punto de partida para la geometría debiera ser una observación cuidadosa de la realidad tridimensional en la que vivimos. Y esta atención a las situaciones tridimensionales deberían continuar aún en grados posteriores, junto con un énfasis en las relaciones entre el espacio tridimensional y sus representaciones en el plano bidimensional: los objetos "como son" y "como se ven" (en la retina de nuestros ojos, en una hoja de papel, en una computadora o pantalla de televisión). En este contexto es natural tratar no solamente con los aspectos métricos de la geometría, sino considerar también las propiedades afines al plano, así como las proyecciones paralelas del espacio en el plano. Más aún, uno debiera considerar (al menos en una forma ingenua) proyecciones centrales, es decir perspectivas.

5.En un cierto sentido, los métodos de enseñanza son aún más importantes que el contenido. ¡Y también, es más difícil mejorarlos!.

Durante las últimas cuatro décadas, la crítica a la forma tradicional de enseñanza de la geometría sintética (Euclideana) en los grados superiores ha sido dirigida a través de un estilo de presentación de la construcción global como un producto final intocable en lugar de a través de la construcción del propio contenido.

En nuestros días se está comúnmente de acuerdo en que el aprendizaje repetitivo de pruebas ya hechas tiene un efecto pobre en la educación y no se acerca al propósito deseado, que es familiarizar a los alumnos con el razonamiento hipotético - deductivo en diferentes contextos (no solamente geométricos).

Creemos que es en el nivel superior de secundaria que los alumnos debieran tener una idea de la estructura de una teoría deductiva, ya que esta es su característica principal, que distingue a las matemáticas de la ciencias experimentales. Pero esto no significa que la enseñanza de la "geometría deductiva" deba empezar con un conjunto de axiomas, ni que cada proposición deba ser probada. Con una sistematización excesiva arriesgamos matar el interés de los alumnos; esto podría significar lograr precisamente lo contrario al efecto deseado para la educación.

En consecuencia, al menos al comienzo de la escuela secundaria (digamos en los grados 7 - 10, aunque también posteriores) parece aconsejable el uso de deducciones "locales", que estén al alcance de los estudiantes y que por lo tanto les permitan involucrarse activamente. Por supuesto lo que debe quedar claro incluso en este nivel es que cada prueba se apoya en algunas suposiciones que deben ser establecidas explícitamente y que se dan por hecho. Estas suposiciones deben ser vistas como un conjunto de axiomas provisional (y redundante).

Al seleccionar los teoremas que serán demostrados debieran privilegiarse proposiciones sorprendentes y no intuitivas, a fin de mostrar el poder del razonamiento sobre la mera experiencia física (por ejemplo: la suma de los ángulos de un triángulo, el Teorema de Pitágoras, propiedades de la línea de Euler en un triángulo, la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado). Tales ítem pueden servir como "soportes" para un currículo que ve a la geometría como un viaje, de acuerdo a la metáfora "del autobús" del § 2.

Finalmente, "probar un teorema" no debiera ser confinado a la geometría. Aún en aritmética, álgebra y probabilidad, hay muchas oportunidades de probar proposiciones sencillas pero significativas. Por supuesto, el estilo de las pruebas es un tanto diferente en estos contextos. Lo que es puculiar en las pruebas de geometría es el rol de la intuición visual, por lo que es tan difícil dar una prueba totalmente rigurosa de cualquier cosa en geometría (y porqué La Nueva Matemática puso en su lugar al álgebra).

6.Las aplicaciones de la geometría tanto las novedades impresionantes (ver Capítulo 1 Sección I) como las clásicas bien conocidas (Capítulo 1 Sección II) son sin duda fascinantes y por lo tanto deben ser enfatizadas. Pero uno debe evitar el peligro de una fragmentación excesiva. Justo como la excesiva sistematización puede matar el interés de los alumnos, así una fragmentación excesiva puede ser dispersante y no concluyente. Las aplicaciones a privilegiar son en consecuencia aquellas que mejor se ajusten a una perspectiva educativa, cultural y global de la totalidad del currículo.

Más aún uno debiera mantener siempre en la mente la recomendación del Cockcroft Report[4]

Debe ser un principio fundamental que ningún tópico debe ser incluido (en un curso de matemáticas) a menos que pueda ser suficientemente desarrollado para ser aplicado en las formas que los alumnos puedan entender.

7.En la comunidad matemática internacional existe ahora una amplia convergencia de opinión en que la geometría, después de años de abandono, debiera ser revitalizada en sus variados aspectos en todos los niveles escolares.

Pero es difícil poner esto en práctica y aparenta ser una utopía, e incluso posiblemente indeseable, el creer que la geometría pueda de nuevo monopolizar cercanamente la mitad del tiempo dedicado globalmente a las matemáticas, como fue el caso en muchos países hasta hace unos 50 años.

Una manera de superar la consecuente falta de tiempo es el guiar a la geometría a salir de su aislamiento. Esto puede ser logrado, por ejemplo, familiarizando a los alumnos con el "pensamiento visual" incluso en aritmética, en álgebra, en cálculo, en matemáticas discretas en estadística y así sucesivamente, usando - siempre que sea posible - bosquejos, dibujos, gráficas, diagramas y terminología geométrica (por ejemplo distancia, ortogonalidad, etc...). ¡Debiera convertirse en una rutina habitual de los profesores el pedir a sus alumnos una interpretación geométrica de cualquier clase de problemas matemáticos! También puede ser útil el enfatizar las ligas entre la geometría y otras disciplinas, por ejemplo física, geografía, dibujo técnico e incluso filosofía.

8.El uso de las computadoras puede tener un profundo efecto sobre la enseñanza de la geometría desde dos puntos de vista, los que en cierto sentido son mutuamente complementarios.

a.Por un lado el uso de software didáctico específico tal como Logo, Cabri o Sketchpad pueden mejorar en gran medida la enseñanza y el aprendizaje de la geometría. Al mismo tiempo, el uso de esta clase de software implica un replanteamiento profundo del rol de actividades tales como conjeturar, argumentar y demostrar.

b.Por otro lado, se necesita un entendimiento más profundo de los aspectos gráficos y computacionales de la geometría con el fin de ser capaz de usar, con mesura, software profesional CAD u otras facilidades de cómputo similares. Tales paquetes incluso pueden ser usados por profesores habilidosos como herramientas y ambientes para conducir actividades en el aprendizaje de los alumnos de conceptos y estructuras geométricas (ver Capítulo 4).

Se avizoran serios problemas relacionados con el uso de computadoras. En muchos países no son suficientes las fuentes financieras para dotar a las escuelas con hardware y software apropiado. Se espera que esta situación mejorará en el futuro gracias a la caída de los costos de estos artefactos electrónicos.

Sugerimos a los profesores que no tienen aún la oportunidad de usar los recursos de cómputo que: lleven siempre en mente que estos artefactos electrónicos existen, y que consecuentemente en su enseñanza enfaticen aquellas habilidades que serán probablemente más relevantes en la perspectiva de la vida profesional futura de sus alumnos.

En cualquier caso, al menos hasta ahora, parece inapropiado considerar el uso de las computadoras como el único recurso tecnológico posible para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría. Aún es esencial que los estudiantes estén familiarizados con la regla y el compás o con los modelos de objetos geométricos tridimensionales.

9.La capacitación de los profesores en servicio y la de los profesores en prospecto es un problema clave a fin de pasar desde un pensamiento lleno de deseos a las acciones concretas (ver Capítulo 9). Para enseñar cualquier tópico adecuadamente, uno debe conocerlo completamente; en realidad uno debiera saber mucho más y con mayor profundidad que lo que uno enseña. Pero sería una ilusión pensar que uno puede dominar todo el conocimiento antes de iniciar la enseñanza; el mero acto de enseñanza le ayuda a uno a adquirir tanto profundidad como extensión. Desafortunadamente un gran número de profesores en servicio han recibido una pobre capacitación en geometríay, tanto cualitativa como cuantitativamente inadecuada.

Así como para la capacitación de los nuevos profesores, existe una gran brecha entre la clase de geometría que se enseña en la mayoría de las preparatorias y universidades, y la geometría que se espera que los profesores en prospecto enseñen a sus futuros alumnos.

En virtud de que los cursos de geometría de preparatorias y universidades tratan fundamentalmente con álgebra lineal, topología algebraica o materias similares, es sumamente fácil predecir que aquellos que son estudiantes ahora, una vez que sean profesores, habrán de regresar a los insatisfactorios modelos de enseñanza de la geometría elemental experimentados por ellos en sus estudios preuniversitarios. ¡Los profesores enseñan más en el modo como a ellos les enseñaron que como les dijeron que enseñaran!

El movimiento de las Nuevas Matemáticas falló en unir la brecha entre la geometría escolar y la geometría universitaria principalmente porque tuvo impacto solamente en las curricula preuniversitaria. Estaba basada en la suposición de que ciertas partes de la geometría elemental estaban "muertas" para la investigación contemporánea avanzada pero esta suposición, verdadera o no, no debe implicar la exclusión de esas partes de la geometría que habían sido enseñadas en una perspectiva cultural apropiada. El tiempo ha mostrado, en el nivel de preparatoria y universitario, el hecho de que la geometría visual y elemental está todavía viva como una fuente permanente de interés e inspiración, incluso, para la investigación avanzada. Para decirlo en las palabras usadas por D. Henderson en el Congreso de Catania:

Dar vida al razonamiento geométrico es poner atención a los significados detrás de las fórmulas y de las palabras - significados basados en la intuición, imaginación y experiencias del mundo que nos rodea. Dar vida al razonamiento geométrico es saber que en geometría las definiciones, suposiciones, etc., varían con el contexto y con el punto de vista.

Dar vida al razonamiento geométrico es hacer conjeturas, buscar contraejemplos y desarrollar conexiones.

Dar vida al conocimiento geométrico es preguntar siempre: ¿porqué?

En la misma reunión, M. De Guzmán señaló que los seres humanos apoyan cerca del 90% de sus actividades en percepciones visuales ("Homo est animal visuale", dijo).

Así, la capacitación inicial de los futuros maestros de escuela básica deberán incluir cursos que tengan un contenido visual auténtico, verdaderamente geométrico.

Los autores del presenta capítulo urgen a los lectores de este Estudio ICMI a sensibilizar a sus colegas en preparatorias y universidades de este asunto crucial: Un conocimiento crítico y profundo de la geometría elemental (incluyendo la atención en el rol de la visualización), fundamentos, geometría no - Euclideanas, tanto como aspectos de aplicación, epistemológicos, históricos y didácticos, es absolutamente necesario tanto para la investigación avanzada como para la enseñanza. Como Freudenthal una vez señaló: "Todo el mundo, no solamente los profesores y los autores de textos deben experimentar la verdadera geometría al menos una vez en sus vidas".

10.Un segundo punto clave en la mejora auténtica de los procesos de enseñanza-aprendizaje concierne a la medición, un aspecto que parece ser omitido en general, y especialmente en geometría. La razón es inherente a la propia naturaleza de la materia. De hecho, uno de los asuntos clave del razonamiento geométrico consiste en la habilidad para traducir proposiciones de un código a otro. Usualmente un problema, formulado originalmente en palabras de nuestro lenguaje natural, debe ser transformado en un dibujo o en una fórmula o (en grados posteriores) en alguna ecuación algebraica. Al final de este proceso el mismo camino debe ser recorrido en dirección opuesta: desde la solución algebraica o desde los resultados numéricos, a la interpretación visual. Y, finalmente a la respuesta expresada de nuevo en palabras del lenguaje natural. Este largo y complejo itinerario no se puede ajustar para ser medido por test de opción múltiple o procedimientos estándares similares.

Por otra parte, el hábito prevaleciente en muchos países de usar solamente procedimientos de medición escritos es inadecuado para evaluar la comprensión de las ideas involucradas en una demostración, o aún para medir la habilidad de implementar una construcción geométrica en una computadora.

Si la medición está limitada al conocimiento de terminología geométrica y al uso de fórmulas de áreas y volúmenes o la habilidad de resolver ecuaciones algebraicas, esto implica una distorsión del verdadero espíritu geométrico.

Es bien sabido que lo que los profesores evalúan y el modo como lo hacen tiene una influencia crucial en lo que los alumnos consideran aprendizaje relevante y valioso. En consecuencia, los procedimientos de medición deben ser conformados de acuerdo a lo que se desea en los procesos de enseñanza y aprendizaje, y no viceversa.

Resumiendo, se debería usar una variedad de métodos de medición (ver Capítulo 8), incluyendo los tests pero más articulados con ejercicios y problemas de genuino sabor geométrico, exploraciones de situaciones abiertas, reportes escritos sobre las actividades desarrolladas durante una sesión de cómputo o en relación con un trabajo práctico, junto a presentaciones orales y entrevistas donde una interacción real entre el profesor y alumno se lleve a cabo.

Por otro lado, debemos reconocer el costo de estos métodos de medición no estándar para el profesor, en tiempo y energía.

Todos estos problemas difícilmente pueden ser resueltos satisfactoriamente por los profesores de manera individual. Ellos necesitan ser dirigidos por aquellos que administran el sistema público de examinación. Aún así, los profesores pueden contribuir a una mejora de la presente situación a través de una presión colectiva sobre los administradores.

Al tomar el riesgo de reducir el rango de los aspectos del currículo considerados adecuados para la medición, sin importar qué clase de medición se use, es importante establecer parámetros de evaluación tan objetivamente como sea posible, pero sin sacrificar los aspectos significativos por el mito de una objetividad total.

11.Como para los libros de texto en muchos países hay un notable florecimiento de iniciativas. Pero con demasiada frecuencia las innovaciones curriculares son yuxtapuestas con tópicos tradicionales previos, esto genera repeticiones y pierden coherencia global. Una recomendación para los autores de textos es entonces evitar una forma acumulativa de compilación de textos y ser más selectivos al escoger una vía coherente que pueda ser claramente inteligible a los maestros y alumnos.

Al menos para los tópicos más innovadores donde no se da aún una tradición didáctica sugerimos complementar los libros de texto con guías apropiadas para los maestros (como se acostumbra en varios países) y proveer de publicaciones específicas para la capacitación de los profesores.

12.Cada cambio curricular implica necesariamente algunas dificultades inherentes a la novedad de la materia, a la pobre preparación de los profesores y al soporte inadecuado de herramientas de enseñanza. En consecuencia, a fin de que una innovación, en cualquier campo, sea exitosa, es una condición necesaria que los maestros que estarán a cargo de la implementación estén completamente convencidos de que es muy valioso lo que hacen, y por lo tanto, estén dispuestos a tolerar la responsabilidad de un largo y demandante esfuerzo.

Con este Estudio ICMI, esperamos haber tenido éxito en la aclaración de al menos algunas de las más relevantes motivaciones a fin de persuadir a nuestros lectores de la necesidad de una mejora en la enseñanza de la geometría en todos los niveles escolares. Más aún, esperamos haber dado algunos hints útiles indicando la dirección en la cual moverse.

Estamos confiados en que, después de las dificultades de la presente fase de transición, la geometría retomará el importante lugar que merece en la educación matemática.



[1] ¡A quién de nosotros no le gustaría correr el velo tras el cual el futuro descansa escondido; lanzar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los próximos siglos! ¿Qué fines particulares se plantearán que conduzcan la lucha del espíritu matemático de las próximas generaciones? (David Hilbert. Problemas Matemáticos. Dirigido al Congreso Internacional de Matemáticos en París. 1900).
[2]Developments in Mathematical Education., Memorias del Segundo Congreso Internacional de Educación Matemática, A.G. Howson Ed. (Cambridge Univ. Press. 1973). El documento en su totalidad es aún relevante y especialmente en lo que concierne a este libro. 
[3] Ver la nota de pie de página: p-*
[4] Mathematics Counts, HMSO, Londres, 1982.