HACIA UNA COMPRENSIÓN DE LA MEDIA

COMO "PUNTO DE EQUILIBRIO"[1]

Janice R. Mokros y Susan Jo Russel

Technical Education Research Centers, Cambridge, Mass.[2]

 

A veinticinco personas, entre niños y adultos, se les dieron problemas en los que construyeron conjuntos de datos que pudieran estar representados por una media dada. Muchos de ellos sintieron que la noción de "equilibrio" era uno de los aspectos importantes. Mientras intentaban construir un conjunto de datos que estuviera “equilibrado”, exploraron el equilibrio simétrico, el balanceo de la suma de los datos en ambos lados de la media, y finalmente, el balanceo de las desviaciones alrededor de la media.

 

Mientras que la mayoría de los niños son introducidos al algoritmo para promediar en cuarto grado, investigaciones recientes han mostrado que los niños, y aún los adultos, no entienden la manera en que la media representa al conjunto de datos (Gal y otros, 1989; Mokros y Russell, 1990; Strauss y Bichler, 1989). Nuestra investigación se centra en como los niños y los maestros piensan acerca de la relación matemática en la que los datos se "equilibran" alrededor de la media, de una forma particular.

            Veintiún niños (de 4o., 6o. y 8o. grado) y ocho maestros fueron individualmente entrevistados, usando una serie de problemas abiertos. Tres tipos de problemas fueron usados: 1) Problemas de construcción, en los cuales a los participantes se les pedía que construyeran un conjunto de datos de los cuales pudiera resultar una promedio dado, 2) Problemas de interpretación, lo cual envolvía describir, resumir, comparar y razonar acerca de un conjunto de datos y 3) Problemas tradicionales acerca de obtener promedios, resolubles a través del uso del algoritmo. Los problemas de construcción de datos produjeron los mejores resultados, porque demandan un profundo razonamiento acerca de la manera en que la media representa los datos.

            Los resultados mostraron que los niños de niveles más elementales (4o. y 6o. grado) tenían un sentido del promedio como un representante de una cantidad modal o como lo que es “típico” de un conjunto particular de datos. La mayoría de los niños del 8o. grado pensaban en el promedio como el punto medio de los datos o como el punto de simetría en el caso de una distribución que se mirara idéntica en ambos lados de la media. En algunos casos, este fue el punto medio del eje "X" o la mitad del rango.

            En el caso de construir un conjunto de datos para un promedio particular, cerca de la mitad de los adultos y niños del 8o. grado, construyeron un conjunto de datos simétricos alrededor de la media. En el acercamiento simétrico, las personas colocaban igual número de datos por abajo y por arriba de la media, frecuentemente usaban un acercamiento por apareamiento, colocando un punto a cierta distancia por arriba de la media, representando uno de los datos, y un segundo punto a igual distancia, por abajo de la media. De este acercamiento resultó una construcción en que la media, la mediana y la moda eran idénticas. En estas construcciones simétricas, el promedio es claramente visto como un punto de equilibrio visual, pero este equilibrio sólo puede ser mantenido para distribuciones simétricas. Fue un problema significativo, para estas personas, el tratar con distribuciones sesgadas. Cuando la simetría no era posible (por ejemplo, cuando movíamos lo suficiente un punto de tal forma que el dato que compensara, por el otro lado de la media, fuera menor que cero), estas persona tenían que cambiar su estrategia. Su punto medio ya no tenía posibilidades y su marco de pensamiento, acerca de la media, no funcionaba más.

            Un problema que nos intrigó fue la estrategia que emplearon las personas cuando ya no están posibilitadas para usar el simple equilibrio de simetría y fueron confrontadas con un problema donde se necesitaba una noción más compleja del equilibrio matemático. En la sección que sigue, describimos las estrategias empleadas por dos individuos -un niño de sexto grado y un especialista en matemáticas elementales- cuando percibieron que el equilibrio involucra algo más que la mera simetría.

 

1. Fred.: Balancear simétricamente y balanceo total

Fred fue el único del grupo de 6o. grado (y uno de sólo dos estudiantes) que tuvo tanto una comprensión de la simetría como un atisbo de la estrategia de equilibrio que va más allá de la simetría. En el problema del "costo de la vida", se le pidió que construyera una distribución de los datos sobre el costo, alrededor de una media de $1.50, colocando piezas cuadradas, a manera de rompecabezas, a lo largo de una gráfica en la que el eje horizontal estaba etiquetado en incrementos de 25 centavos. Fred primero se aproximó a este problema de una manera cualitativa, colocando unos pocos de cuadrados suficientemente cerca al promedio. Cuando se le preguntó que estaba haciendo contestó, " bueno, sólo estoy haciendo que algunos números queden cerca de $1.50". De hecho, sus datos eran muy simétricos. al continuar con la construcción de la distribución, parecía que estaba equilibrando cada dato mayor que $1.50  con otro menor. Cuando se le preguntó si pensaba que el promedio sería $1.50, respondió que sus datos estaban en "equilibrio", y cuando se le pidió que dijera más acerca de la media, se dio cuenta de algo sospechoso:

Bueno, en cada uno de los lados de $1.50 hay la misma cantidad de piezas ... un momento ... pero ... creo que cometí un error. Pero debería haber más número de este lado [apunta al lado de los valores menores de la distribución] porque estos son muchos más números. Esto [apunta al lado de los valores mayores de la distribución] es más dinero que esto [apuntando a los valores menores]

            Fred llegó a darse cuenta de que había otro tipo de equilibrio- el cual se basa en la suma de los datos de cada lado de la media. En la parte siguiente de la entrevista explora este nuevo tipo de equilibrio. Empieza por mover varios de sus puntos del lado de los valores mayores al de los menores. Ahora, tiene más en el lado de los menores que de los mayores de $1.50. Explica:

Fred: Así que debería haber algo más que lo que sería el dinero [señalando a los datos del lado derecho], pero habría más que fueran menores que $1.50 para hacerlo igual. 

Entrevistador: De acuerdo, ¿y como harías para emparejarlos?

Fred: Bueno, quizá si algunos de estos fueran aumentados [valores menores que la media] sería igual a lo que estos agregarían [valores mayores que la media].

            Fred subsecuentemente construye otra distribución de los costos la cual involucra el principio del "equilibrio total", donde la suma de los datos de cada uno de los lados de la media es la misma. En su segunda construcción, el demostró que su técnica "funciona", aún si ninguno de los datos es $1.50.

            Por supuesto, esta técnica no funciona, pero, aún  a los adultos que se les presenta esta estrategia se sienten intrigados con la misma, y no pueden determinar inmediatamente el defecto. El problema llega a ser claro cuando se toma un ejemplo extremo: Dado un costo promedio de $1.50, la estrategia del "balanceo total" permite una distribución con dos datos en el punto en $3.00 (un total de $6), 10 en el $0.50 y 4 en el $0.25 (de nuevo un total de $6). Como puede verse en la gráfica, esta es una distribución muy sesgada que parece tener una media mucho menor que $1.50, de la que en realidad tiene- la media real es $0.75. El "peso" de los datos está en el extremo inferior, entre $0.25 y $0.50.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


            Pero, para alguien con dificultades al tratar de desarrollar un equilibrio matemático que funcione, esta estrategia de balanceo es atractiva: toma en cuenta los valores de todos los datos; se aplica a distribuciones no simétricas; es un tipo de balanceo que funciona en otras situaciones matemáticas familiares, como el balanceo de una ecuación o al usarlo en un balanceo general. Sin embargo, lo que falla es el reconocer a la desviación, con respecto a la media, como la cantidad que debe ser balanceada. No es el valor de cada pieza lo que es importante, sino que tan alejada esta del punto de equilibrio.

 

2. Evelyn: Construyendo una teoría flexible del equilibrio

Evelyn es uno de los únicos dos maestros en el estudio que desarrollaron una teoría del balanceo más general y flexible, no atada a la simetría ni al algoritmo. Ella parece desarrollar y solidificar sus ideas acerca el tipo de equilibrio que representa la media en el transcurso de su entrevista. En el problema de las "papitas", se le pidió que construyera los precios de 9 bolsas de "papitas" de tal forma que su promedio fuera $1.38. Un seguimiento de la investigación involucra hacer este problema sin usar a $1,38 como dato. Después de usar exitosamente una aproximación algorítmica para resolver ambos problemas, ella medita "¿como podría hacerse también en una forma organizada, sin realmente coincidir con $1.38?" Animada por el entrevistador, ella piensa por largo tiempo, admitiendo sobre el punto, "estoy llegando a ubicarme en la disparidad de esto", refiriéndose al número impar de bolsas, lo cual la previene de recurrir a los pares de valores balanceados, en cada uno de los lados de la media. Entonces, se pregunta en voz alta "que pasaría si cuatro de ellos, si, si cuatro de ellos estuvieran 5 centavos por abajo de $1.38 y entonces, cinco de ellos estuvieran 4 centavos por arriba de $1.38, eso funcionaría". Y, más segura de sí misma, "cualquier combinación como esa, si se toman seis de ellas y se hacen tres centavos por debajo [y] tres de ellas en seis centavos por encima, entiendo cualquier cosa como esa". Con esta solución, Evelyn ha abandonado tanto el algoritmo con su demanda de considerar la intermediación de la totalidad como el punto medio con su exigencia de la simetría. Ella es la única persona de nuestro estudio, estudiante o adulto, que se acercó a vislumbrar una solución general para este problema. Sin embargo, en el problema del "costo de la vida" que involucra una mayor cantidad y complejidad del conjunto de datos, vemos que su idea no está completamente desarrollada y debe reconstruir la forma en que este equilibrio funciona.

            Evelyn comienza el problema del "costo de la vida" con una imagen de la distribución normal. Describe como hacer una distribución completamente simétrica alrededor de una media de $1.50, pero decide que "no es muy interesante". Para considerarlo como un reto, decide empezar con dos cuadrados de $4.00, fuera del rango de la distribución netamente simétrica, que en este caso debe estar acotada por $0.00 y $3.00. Balancea los dos cuadros en $4.00 con 8 de $1.00, creando un balance de la cantidad total de dinero de cada uno de los lados de $1.50. Al igual que Fred, ella balancea usando totales.

            Explica:

Evelyn: Balancear [significa] que si tu agregas algo en este lado del $1.50, tienes que lograr un adición igual para el otro lado, con lo que quiero decir, la idea de la ecuación.

Entrevistador: Así que, por ejemplo, si tu agregaras, digamos 6 [cuadros] aquí en $1.00, entonces como pensarías respecto ...

Evelyn: Tendría que poner algo al otro lado de aquí [mayor que $1.50] que igualará a $6.00.

            Ella claramente esta luchando con estas ideas durante la entrevista, interrumpiendo frecuentemente sus propias acciones con preguntas y proposiciones de reflexiones indicando incertidumbre. Aunque, no completamente satisfecha con su estrategia, lo que hace es completar una distribución en la que el total de los valores de los datos mayores que $1.50 es igual al total de valores menores que este. Explica, "el promedio es $1.50 por la manera en que queda establecido ahora, la cantidad que hay sobre esta parte quedaría balanceada con la cantidad sobre esta parte". Una nueva estrategia del "balanceo total" ha reemplazado la estrategia de balancear las desviaciones, que ella articuló tan claramente en el problema de las "papitas". En este punto de la entrevista, el entrevistador introduce dos nuevas piezas en el $0.00, y pregunta a Evelyn como podría balancear a estas. Esta pregunta rápidamente coloca a Evelyn en un estado de desequilibrio ya que su estrategia de "balanceo total" no puede acomodar el valor cero.

Evelyn: Mi primer impulso es que se necesitan dos “cositas” que vayan exactamente aquí [en $1.50] ¿Correcto? Déjeme pensar. De acuerdo, tenemos dos cositas más y de esa manera el promedio se reduce ... un poquito. Ha no, necesitamos subirlo un poquito ... se necesita incrementarlo ... están a $1.50 por abajo de la media [coloca dos cuadritos en $3.00] No parece ser correcto, aunque, eso es demasiado grande.

Entrevistador: ¿Para hacerlas mayores de $1.50?

Evelyn: [pausa] Mira, lo que me detiene aquí es si son $3.00 de cada una, en realidad estaríamos agregando $6.00 aquí, mientras que en lo menores estamos restando $3.00. Lo que quiere decir, ... Así, que necesito, déjame ver, he quitado un total de $3.00 aquí ¿Correcto? Si. Necesito agregar un total de tres dólares por acá, lo cual podría lograrlo colocando sólo una de tres dólares. Y entonces pensaría que debería equilibrarse ... todavía estoy con la idea de balancear los valores por arriba de $1.50 con los valores por abajo del mismo. [pausa] Sin embargo, todavía hay algo incorrecto con eso.

            En realidad Evelyn esta balanceando la suma de las desviaciones por abajo de la media (los dos cuadros en $0.00 representan una desviación total de $3.00 con respecto a la media) con la suma de los valores por arriba de la media (un cuadrito en $3.00). Mientras la entrevista progresa, el entrevistador le pide que compare la estrategia usada en el problema de las "papitas" con su estrategia actual. En el transcurso de esta comparación, ella decide simplificar su distribución de los "costos" al usar sólo tres cuadros y explorar las posibilidades con este número pequeño de valores. Con este pequeño número de cuadros, rápidamente retornó a su estrategia de las desviaciones, decidiendo finalmente que sólo las desviaciones eran críticas. A diferencia del subibaja, donde importan tanto el peso como la distancia del fulcro, en este "balancín" sólo las distancias importan, como concluye Evelyn: “tengo que hacerlo con números reales ... antes yo estaba trabajando con una especia de ecuación ... y me estaba atorando en eso ... dependería de donde las ponga  de acuerdo a una distancia a partir de $1.50 ... lo que se tiene que hacer es observar la distancia al promedio”.

 

Intervenciones de Enseñanza

Mientras sea muy inusual para los niños o adultos darle sentido a las desviaciones al encontrar la media, parece que sus propias nociones de equilibrio son un fundamento importante para construir los conceptos de media y desviación. Hemos descubierto algunas estrategias de enseñanza claves para la construcción de este concepto. Todas ellas involucran problemas de construcción de datos.

            Primero, un método simple que llama la atención sobre los equilibrios es el que las personas tengan que construir una distribución pequeña con estas estipulaciones: 1) tiene un número impar de puntos datos y 2) ningún dato debe ser colocado en el lugar de la media. Por ejemplo, en el problema de las “papitas” discutido anteriormente, había 9 bolsas de “papitas” que se les debería asignar precio. Frecuentemente, las personas intentan equilibrios apareados (es decir, una bolsa $1.38, una bolsa $1.38) y asignan un precio de $1.38 a la bolsa restante. Cuando se les pregunta “¿Puedes hacerlo sin usar $1.38?”, esto persuadía a la gente de pensar acerca de diferentes tipos de equilibrio. Ocasionalmente, vimos a estudiantes mayores y a adultos llegar a una estrategia de “ternas” en respuesta -una estrategia en que los tres precios estuvieran balanceados así que su media era $1.38. El reconocer ternas como una forma de balancear es un paso importante hacia la comprensión de las desviaciones.

            Un segundo método de llevar a las personas  a una perspectiva más sofisticada del equilibrio involucra a los profesores o entrevistadores para que hagan “ajustes” a la distribución de datos que los niños hayan construido. Esta estrategia es una intervención útil tanto para las personas que balancean en un modo estrictamente simétrico como para las que balancean por totales. Para los que usan simetría, simplemente al mover o colocar uno de los datos al final del extremo derecho de la distribución puede conducir al desequilibrio. Por ejemplo, en una distribución de caries en los niños (con una media de 3), el colocar un dato en el 10 no puede ser compensado con poner un dato en el -4. Una nueva estrategia, no-simétrica, debe ser desarrollada. Para las personas que balancean totales, una intervención apropiada puede ser agregar varias piezas al dato cero, como fue hecho con Evelyn. Este agregado no tiene efectos en el total, pero tiene un impacto importante sobre la media.

            Por último, estamos experimentando con estrategias de enseñanza que comienzan con la media e involucra “desempacarla”. Empezamos con todos los datos apilados sobre la media (por ejemplo, datos apilados que sobre el cuatro para representar el tamaño de una familia). Entonces les pedimos que muevan los datos de tal forma que se vean de manera más realista pero que aún represente una media de 4 para el tamaño de la familia. La mayoría de los niños inicialmente construyen conjuntos de datos  al alejar por parejas de ellos de la media, de una manera simétrica. Gradualmente, ven que un movimiento largo sobre uno de los lados (por ejemplo, un movimiento de 4 a 8) puede ser compensado por un movimiento corto sobre el otro lado (por ejemplo, mover dos datos del 4 al 2). El hecho de que una familia de 8 no puede ser compensado por una familia de cero es una fuerte motivación para hacer movimiento más allá de la simetría. Nuestro trabajo es primeramente con materiales concretos, pero estamos explorando ambientes de software, lo que les permitirá a los niños manipular datos alrededor de una media seleccionada y observar el resultado de sus movimientos.

 

Conclusiones

Los niños mayores y los maestros de nuestro estudio usualmente tenían un concepto de promedio que involucraba un punto de equilibrio de los datos. Lo que todavía no comprendían era el promedio como un punto de equilibrio que usualmente es diferente del punto medio de los datos o el punto de simetría, el que es muy diferente del tipo de equilibrio que encontraban en las ecuaciones o balanceos totales, en el que cada lado tiene una cantidad equivalente. Para tener una comprensión sólida de lo que la media representa y como se relaciona con los datos, el concepto de equilibrio de las desviaciones es esencial.

            Creemos que la noción de equilibrio es central no sólo para la comprensión de la media sino para la comprensión de un amplio rango de ideas matemáticas centrales. Sin embargo, hay muy diferentes tipos de equilibrios matemáticos comprendidos en una gran variedad de relaciones: ecuaciones, proporciones equilibrio de pesos en un subibaja o equilibrio total. Los niños y los adultos necesitan abundancia de oportunidades para construir equilibrios -en los campos de la estadística, geometría y números- para que las reglas del equilibrio matemático tenga sentido.

 

Referencias

Gal, l., Rothschild, K., & Wagner D. (1990) Statistical concepts and statistical reasoning in elementary scholl children: Convergence or divergence? Artículo presentado en el American Educational Reasearch Association, Boston, MA.

Strauss, S. & Bichler E. (1989). The development of children`s concepts of the arithmetic average. Journal for Research in Mathematics Education. Mokros, J. &

Russel, S. J. What`s typical? Children`s ideas about average. Artículo presentado en el American Educational Research Association. Boston, MA.

 



[1]  La investigación descrita en este artículo fue apoyada en parte por la National Science Foundation. Las opiniones expresadas en el artículo son las de los autores y no necesariamente representan la visión de la Fundación.

[2]  Traducción realizada con fines educativos por el M.C. Gerardo Gutiérrez Flores del artículo:

Mokros, J.R.; Russell, S.J.: 1991, Towards an understanding of Mean as “Balanced Point”. En Proceedings of the Thirteenth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Blacksburg, V.A.