SUCESIONES Y RAZONES
EN EL ARTE Y LA NATURALEZA
MC Martha Cristina Villalba.

 

Ciertamente que la matemática por sí sola no explica los por qué del número de pétalos que tienen flores como las margaritas - 34, 55 ó 89-, o las trayectorias espirales que se describen en los acomodos de las semillas de ciertas flores, piñas, o en los brotes de algunos tallos (ver fig.1 ). Sin embargo, resulta asombroso descubrir que existen patrones numéricos comunes que subyacen no solamente en el orden que gobierna el crecimiento de algunos seres vivos, sino también en las proporciones que guardan las medidas de ciertas obras de arte que han sido consignadas como clásicas y que logran un impacto estético profundo en sus admiradores.

Los números asociados a la cantidad de pétalos de las distintas flores, a las cavidades que guardan las semillas en los frutos, a las trayectorias espirales que se describen en las piñas, la alcachofa o en los brotes del tallo en la figura 1, forman parte de un grupo de números llamados Números de Fibonacci y que los podemos presentar de la siguiente manera :

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

Se llaman así, Números de Fibonacci, porque fue éste gran matemático de la Edad Media quien los presentó por primera vez . De hecho, no lo hizo listando los números explícitamente, sino que planteó un problema muy sencillo acerca de la reproducción de unos conejos sujetos a ciertas condiciones, cuya solución encierra la secuencia numérica mencionada. Específicamente y dicho en nuestras palabras, el problema plantea los siguiente:

Un par de conejitos bebés (un macho y una hembra) se colocan en un lugar cercado y amplio con fines de reproducción. Las reglas para este juego de reproducción de conejos son las siguientes:

¿Cuántas parejas de conejos habrá en un año ?

Para saber qué ocurre, podemos organizar el proceso de reproducción en una tabla como la que mostramos a continuación :
 

Inicio
Final
mes 1
Final
mes 2
Final
mes 3
Final
mes 4
Final
mes 5
Final
mes 6
Final
mes 7
Final
mes 8
Final
mes 9
Final
mes 10
Final
mes11
Final
mes 12

Parejas Maduras
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
...
Parejas Bebés
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
...
 
Total de Parejas
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
...
   

Como se puede ver en la tabla, el tercer renglón presentará al final del mes 12 la respuesta solicitada en el problema. Sin embargo, nos damos cuenta que no es precisamente esta respuesta final, única y aislada, la que encierra la riqueza de relaciones matemáticas que provocó la inmortalidad del problema de los conejos. Es en la secuencia de resultados, mes tras mes, en donde podemos encontrar esos patrones que la naturaleza en muchos casos tiende a seguir (como curiosidad : tenemos 2 manos, en cada mano 5 dedos, cada uno con 3 falanges - excepto los pulgares que tienen 2- divididas entre sí por 2 articulaciones).
 
 

Para ahondar y precisar un poquito más la importancia de este grupo de números, vamos a sacarlo del contexto del problema de los conejos y presentarlo como un objeto matemático sujeto a determinada notación convencional y caracterizado por sus propiedades y generalizaciones. Veamos la lista de nuevo :
 
 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

En primer lugar, nos damos cuenta que estos números forman una lista infinita - esto es lo que indican los tres puntos sucesivos: que no podemos escribir un último término -. A una lista como ésta, que además es ordenada - esto quiere decir que hay un primer término, un segundo, un tercero,..... un enésimo término - , le damos el nombre de sucesión, y por razones obvias, a ésta, en particular, le llamamos Sucesión de Fibonacci.

Podemos hacernos algunas preguntas sobre los términos, por ejemplo ¿cuál es el 4º término? Si denotamos por la letra F a la sucesión en general, nos referiremos entonces con esta letra y un subíndice a un término específico de ella. Así,
 
 

F1 = 1, F2 =1, F3 = 2, F4= 3, ........ , F10 = 55, F11 = 89,
y Fn = n-ésimo número de Fibonacci.

Los subíndices juegan entonces un papel importante puesto que indican el término al cual nos referimos, pero de acuerdo al orden, o sea al lugar que ocupa en la sucesión, mientras que el número en sí, es el valor numérico que le asociamos a ese término.

 

Nos preguntamos ahora : ¿Cómo encontramos F12 ?. El patrón nos sugiere que a partir de F3 , cada Número de Fibonacci lo podemos obtener a través de la suma de sus dos predecesores. Así , F12 = F11 + F10 = 89 + 55 =144. De esta manera es posible seguir calculando, de uno en uno los términos de la sucesión que por alguna razón estemos requiriendo. Claro que el proceso para encontrar un Fn para n grande, digamos F23 resulta tardado si lo hacemos con lápiz y papel, y aún con calculadora se requiere de paciencia. Incluso con esta herramienta nos veríamos en serios problemas si a alguien se le ocurre preguntarnos ¿qué hay con F100 ?

Bueno, lo que interesa señalar ahora es que ya conocemos una forma general de encontrar un número de Fibonacci, no importa cuál sea : simplemente sumamos sus dos predecesores. En notación general tenemos:

Fn = Fn-1 + Fn-2

Y esto sucede para cualquier Fn ( siempre que n sea mayor que 2 ).

Para escribir de manera completa nuestra sucesión de Fibonacci tendremos:

F1 = 1, F2 =1, y Fn = Fn-1 + Fn-2

En general, esta forma de definir una sucesión la llamamos definición recursiva. En contraste a ésta existe la definición explícita, la cual es muy importante puesto que es directa; es decir, nos permite enterarnos del enésimo término sin necesidad de conocer y hacer cálculos con el, o los predecesores.
 

Generalmente, cuando ambas definiciones están disponibles, podemos decir que la explícita - por ser directa - es mejor, sin embargo hay ocasiones que esta definición ni siquiera es conocida, o es tan complicada que a lo mejor pensaríamos dos veces antes de usarla. En el caso de la Sucesión de Fibonacci vimos que el cálculo de algún término a través de la forma recursiva es tardado, pero sencillo. ¿Y qué hay con la forma explícita? Bueno, no es precisamente sencilla, pero aquí está:



Nótese que aunque esta definición no necesita de los términos predecesores, tampoco resulta fácil hacer uso de ella sin una buena computadora ó calculadora.

Analicemos ahora una sucesión particular, la que denotaremos por la letra R y cuya definición explícita está dada por :  , lo cual quiere decir que los términos de esta sucesión están formados por una razón (o sea una fracción) entre términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci. Veamos sus primeros valores:
 
 
 


n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Fn
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233

Rn
 

Fijemos nuestra atención en hecho de que si obtenemos la expansión decimal dada por cada una de estas razones, nos daremos cuenta de los siguiente:
 


n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Rn
1
2
1.5
1.6667
1.6
1.625
1.6158
1.61905
1.61765
1.61818
1.61798
1.61806

Estas expansiones decimales empiezan rápidamente a parecerse mucho entre sí. De hecho, a medida que tomamos el valor decimal para términos Rn cada vez más lejanos (de n mayores), como por ejemplo para los términos R98 y R99 , podemos decir que prácticamente son iguales pues vemos que tienen en común - además de su parte entera - ¡los primeros 39 lugares de su expansión decimal !.

Con todo lo anterior pretendemos hacer énfasis en uno de los más sorprendentes hechos de los números de Fibonacci : Conforme más avanzamos en la sucesión de Fibonacci, las razones entre términos consecutivos se acercan más y más a un número específico. A este número se le denota mediante su propia letra griega ; se llama f ("fi") y como hemos visto, aproximado a tres lugares decimales es 1.618 (el valor exacto lo exhibiremos más adelante).Lo aproximamos a esos tres lugares pues si quisiéramos expresar toda su expansión decimal sería imposible ya que es infinita y no sigue patrón alguno .
 
 

Claro es que a estas alturas uno puede legítimamente preguntarse por la importancia extra-matemática de este hecho, en otras palabras ¿a dónde nos lleva toda esta presentación de la Sucesión de Fibonacci y ese dichoso numerito f al que se acercan estrepitosamente las razones de sus términos consecutivos ?

Resulta asombroso que estas razones son las que encontramos en el natural acomodo de las semillas de los girasoles, o en los nuevos brotes de los tallos, o en hojas como las de la alcachofa, y es esto lo que les permite aprovechar al máximo el espacio que tienen para crecer y desarrollarse libremente (ver fig. 1) . Es más: es este acomodo o forma de crecimiento lo que determina las trayectorias espirales que encontramos no solamente en esas plantas, sino en otros seres vivos como es el caso de la forma fascinante que adquiere la concha que construye, a medida que va creciendo, el caracol nautilius .
 
 

Pero además de la naturaleza, el hombre ha descubierto que este número f ofrece un balance extraordinariamente estético entre lo largo y lo ancho, entre lo grande y lo chico... por ello, ha hecho uso de él desde tiempos ancestrales en sus producciones de carácter artístico. Precisamente, por el papel que ha jugado en el arte se le conoce como la razón dorada... posiblemente la más notable después de p (que como sabemos es la razón que se establece entre la circunferencia y su diámetro).

Es tan notable que, como ya dijimos, tiene su propio nombre ,f (Fi), posiblemente en honor a Fidias quien consistentemente la usó para obtener las mejores proporciones en sus esculturas y en los frisos del Partenón, así como en el Partenón mismo.

Según la historia, se pueden encontrar rastros del uso de la razón dorada en tiempos tan remotos como en las proporciones que tiene la antiquísima pirámide de Keops. Así mismo, en el arte del renacimiento fue extensamente utilizada por artistas como Leonardo da Vinci, Botticelli y otros . Precisamente, Leonardo da Vinci ilustró el libro titulado "De la Divina Proporcione" escrito en 1509 por Luca Pacioli, uno de los primeros y muchos libros que se han escrito y que tratan el papel de la razón dorada en geometría, arte, arquitectura, música y naturaleza.
 
 

Una curiosidad más: En 1876 un famoso psicólogo alemán, Gustav Fechner, llevó a cabo algunos experimentos tratando de establecer cuáles de ciertas proporciones son de manera natural seleccionadas más frecuentemente por un grupo de personas: Se les permitía escoger entre rectángulos de diferentes proporciones arreglados al azar, y se les pedía que escogieran de acuerdo al que les pareciera más estético. Los resultados de sus experimentos mostraron que un 75% de las personas escogen rectángulos cuyos lados tienen medidas tales, que al establecer la razón entre ellas, resultan números muy próximos a la razón dorada f.

¿Cuáles serían esos rectángulos ? ¡Claro que los de lados cuyas medidas son números consecutivos de Fibonacci estarían entre los elegidos! Nótese que no decimos que sólo esos. Lo curioso es que si empezáramos la Sucesión de Fibonacci con otros números, pero siguiendo el mismo patrón, es decir, la misma definición recursiva de encontrar cada término mediante la suma de sus dos

predecesores, muy pronto también las razones entre términos consecutivos se encontrarían cercanas a la razón dorada.

Ahora bien, en forma exacta ¿cuál es esa divina proporción?. Nos interesa mostrarla para tener una idea no solamente de su exactitud sino de la forma de obtenerla. Veamos, geométricamente este balance estético entre el lado mayor y menor de un rectángulo se establece de la siguiente manera :" El lado mayor es al menor como la suma de ambos es al mayor". Si al lado mayor lo denotamos por l y al lado menor por a, entonces, de acuerdo a lo que decíamos hace un momento, podemos escribir la proporción (igualdad entre dos razones) de la siguiente manera: .

Separando la segunda fracción :  ,tenemos que :  .
 
 

Como lo que nos interesa conocer es precisamente la razón  , vamos a sustituirla por la variable x , de tal forma que si = x, entonces . De esta manera nuestra proporción quedaría ahora escrita en términos de x como sigue :

O sea que si multiplicamos toda la ecuación por x obtendremos una igualdad sin denominadores. Así :

Ahora, re-escribimos esta ecuación de segundo grado  , y aplicamos la fórmula general para despejar x :


Con esto vemos que hay dos posibles valores para x que satisfacen la ecuación, sin embargo, desechamos el valor negativo como solución para la razón  puesto que con ella estamos designando una razón entre las longitudes de los lados de un rectángulo. De esta manera, el valor exacto que hemos encontrado para la razón dorada está dado por :

Solamente como curiosidad, mostramos a continuación una aproximación de este número mediante una expansión de 40 lugares decimales, de manera que podamos advertir en ella la total irregularidad de su secuencia :

f



Conclusión.

Con esta presentación se intentó mostrar que objetos matemáticos independientes como la Sucesión de Fibonacci, la Razón Dorada f y las curvas espirales, tienen una estrecha relación entre sí y, que además, parecen ser los elegidos por la naturaleza para producir algunas de sus complejas y hermosísimas formas, entre ellas, las margaritas, los girasoles, la concha del nautillius, etc. Mostramos que en ocasiones afortunadas el hombre, al tratar de reproducir la belleza mediante obras de arte, hace también uso de estos objetos matemáticos.
 
 

Con esta presentación intentamos compartir el asombro que todo ello nos produce e intentamos también despertar un poco más de interés por descubrir nuevas relaciones en los objetos matemáticos que están al alcance de nuestros estudios escolares, y ver en ellos el lenguaje poderoso que podemos utilizar en nuestros intentos por descubrir, descifrar y reproducir el complejo y maravilloso mundo que nos rodea.
 
 

Bibliografía

1. Golos Ellery B. "Patterns in Mathematics" Prindle, Weber & Schmidt . Boston 1981

2. Hofstadter Douglas R. "Gödel, Escher, Bach: Una Eterna Trenza Dorada". CONACYT. México 1982.

  1. Knott R. "Fibonacci" http://www.mcs.surrey.ac.uk./Personal/Rknott/Fibonacci/fib.html
Fibonacci Numbers and Nature.

The Golden Section.

Fibonacci Rabbit Sequence.

The Golden Section in Art, Architecture and Music.

4. Tannenbaum P. / Arnold R."Excursions in Modern Mathematics" Prentice Hall, New Jersey 1992.