Algunas conjeturas sobre la noción de problema, lingüística y educación matemática y las perspectivas del uso de tecnología.
por Víctor M. Hernández L.
Diciembre de 1996

 
 
  "Any attempt to test the truth of what is known must itself be an act of knowing and hence subjective. Any knowledge of ``objective " therefore is impossible. Constructivism cuts the Gordian knot by separating epistemology from ontology and arguing that the theory of knowledge should deal with the fit of knowledge to experience, not the match between knowledge and reality. The only reality we can know is the reality of our experience."
Kilpatrick, Jeremy. 1987.
 A Modo de Introducción
En este apartado comparto una serie de reflexiones sobre temas diversos, los que espero estén suficientemente interconectados para resultar inteligibles.

No tengo la pretensión de enunciar verdades para nadie. Lo escrito aquí constituye sólo el (mi) sistema temporal de creencias, desde el que intento apoyar un trabajo.

Reconozco el peligro de adentrarme en terrenos que oficialmente pertenecen a los lingüistas, a los cognitivistas y a los filósofos. Sin embargo, suele ocurrir que al incursionar en campos en donde no se es "especialista" resulta enriquecedor y fecundo, precisamente porque la falta de pre-juicios o de rutinas permiten ver las cosas de otro modo.

Valga lo anterior para justificarme, sobre todo porque voy a recurrir a la experiencia de cada cual en el sentido del epígrafe.
 
 

La noción de ``Problema" y su Ámbito de Generación





Desde hace algún tiempo admiro la forma en la que los humanos usamos nuestro lenguaje y, en particular, estoy interesado en la utilidad que la observación detenida de este uso podría reportar para los asuntos de educación en general y en particular para la educación matemática.

Uno de los aspectos que más me ha impresionado en éste admirar, es el haberme percatado de que, al parecer, cada quien posee un Universo Semántico o de significaciones particular; como producto, por un lado exógeno, esto es, del trabajo de interacción perceptual del individuo sobre su entorno; y por otro, endógeno, producto de las articulaciones conceptuales desarrolladas por él.

Algunas características advertidas del Universo Semántico al que hago referencia son:

  Por otro lado, hay en este universo semántico elementos y categorías que acaso jamás sean formalizados, no obstante jugar un papel en la interpretación; es decir en él están contenidos tanto los elementos racionales como los no racionales esto es razón e intuición; constituyentes en todo caso complementarios para la conjunción animal-racional llamada hombre, y los que eventualmente permiten al individuo la construcción del sentido de las representaciones y su significación.

Desde esta perspectiva el cosmos es desde luego, sólo una interpretación posible, más o menos co-subjetiva y más o menos arbitraria o personal e incomunicable en su totalidad -aunque no por ello menos influyente- en cuanto elemento o categoría no significada.

Es en este Universo en el que se dá la creación sígnica y conceptual, es también el ámbito en el que se da el evento -yo diría maravilloso- del nombrar, como satisfactor a la necesidad sincrónica (social) de comunicar, de manera más o menos precisa, la diferenciación advertida sobre algún aspecto del entorno.

Es también en este Universo en el que se rompe la cosificación lograda por los nombres a través de su praxis, de tal manera que como producto de estas rupturas hacen emergencia extensiones conceptuales y/o reconceptualizaciones de lo nombrado.

Es desde este Universo Semántico, que el individuo decide comprometer o no, el ejercicio de sus potencias físicas y/o intelectuales para el desarrollo de alguna actividad.

En mi opinión, la fuerza, el ímpetu, la convicción interna o nivel de compromiso con el que un individuo empeña sus potencias en alguna acción (concreta o conceptual) está en correlato -no único- con la ``distancia" a la que ese individuo percibe el objeto (físico o conceptual) de su acción.

El patrón de comparación que permite al individuo la valoración subjetiva (en ocasiones co-subjetiva) de esta distancia epistémica está constituido de manera natural por su propio universo semántico. (ver Fig. 1)

Desde esta óptica, propongo que un individuo I (ver Fig. 2) descartará muy frecuentemente como objetos de compromiso de acción física y/o epistémica tanto al Objeto 1 como al Objeto 2; al primero por considerarlo demasiado cercano o propio a su universo de significaciones (desdeñándolo) y al segundo como demasiado lejano o ajeno al mismo (abandonándolo).
 
Sugiero como más probable el que un individuo decida comprometer sus potencias físicas o intelectuales, en el caso en que la ``distancia" a la que él percibe los objetos sea tal que ubique al objeto en la ``frontera" de su universo semántico.   Afirmo en consecuencia que la ubicuidad del Objeto 3 (Ver Fig. 3) haría de él un candidato más probable (que los anteriores dos) a constituirse en un detonador de la potencia epistémica del individuo I que así lo percibe.
 


Son entonces la clase de objetos o situaciones que ubicadas en la frontera del universo semántico de un individuo I, a las que llamaré Situaciones Problema, considerando su ascenso al estadio de Problema sólo en el caso en que el individuo I decida internamente, comprometer su voluntad de acción (física y/o mental) para acercarse a ese objetivo.

Es en este sentido que eventualmente las Situaciones Problema emergen en problemas y se consituyen en lo que denomino un Detonador Epistémico.

En este contexto, la refutación (Ver Fig. 4) resulta de ayuda invaluable para crear una tercera clase de objetos: Valiéndose de la refutación del sentido que desdeña a los objetos de la clase 1, es posible revitalizarlos en su significatividad, incrementando por esta vía la distancia (dificultad?) epistémica al objeto.
 

Por otro lado, lo que he llamado ``frontera del universo semántico", aparece en los diagramas anteriores como un linea bien definida sólo para efectos de simplificación modélica inicial, pues en realidad creo que ésta es más bien difusa, amorfa y de una caracterización compleja (Ver Fig. 5); lo que en todo caso propone las limitaciones y dificultades del modelo.
 



 
 
 

Una caracterización de esta frontera, está consignada en la obra de Vygotsky con el nombre de ``zona de desarrollo próximo", como sigue:   << ... It is the distance between the actual development level as determined by independent problem solving and the level of potential development as determined through problem solving under adult guidance or in colaboration with more capable peers>> En adición a esta conceptuación, es conveniente comentar que no es suficiente (aunque si necesario al parecer) que las situaciones planteadas sean percibidas en la frontera del universo semántico para que éstas sean introspectivamente consideradas como problemas por el individuo que así las percibe, faltaría ver si le da la gana atenderlas.   Es decir, el hecho de que un individuo perciba una situación a la distancia precisa para ser considerada como un detonador epistémico (problema) de sus capacidades, no asegura que éste explote en esfuerzos (para resolverlo) comprometiendo su voluntad en ello. Pues como es sabido, a pesar de que el detonador es el que inicia la explosión, ésta no se asegura cuando la pólvora está mojada.   Cerrando la postura, diré que a pesar de que se ubique a un individuo ante situaciones que a su propio juicio y en el sentido antes descrito éste pudiera considerarlas como problemas, no se asegura el que avance en la dirección de intento de solución.   Aun más; los problemas como detonador epistémico en todo caso, están en la posibilidad causal de comprometer la voluntad humana en la dirección que éstos proponen, pero no de determinarla, ni en su concreción ni en los resultados de la acción.   Por otro lado, el asunto de la motivación se me antoja demasiado espinoso, sin embargo parece ineludible comentar algo. Sólo diré que tiene lugar en el universo semántico del individuo, no surge necesariamente como producto de una situación problemática propuesta desde el exterior, puede ser positiva o negativa, puede generar acción visible o bien un no-actuar como una forma de acción muy refinada -cuando se es conciente de ello-, etc., y en todo caso, los resultados de la motivación individual no están determinados.   Con todo y los problemas de determinación que ofrece la conceptuación expuesta en los parágrafos anteriores, creo que este acercamiento ofrece notables perspectivas prácticas para la investigación y/o el desarrollo de estrategias en la creación de espacios que propicien el desarrollo epistémico de un individuo.  

Las disciplinas, la lengua materna y las matemáticas

La idea expuesta en este apartado, tuvo su inspiración en el seno de un curso de cálculo diferencial e integral dirigido a estudiantes de la licenciatura en informática.   Al menos en aquella época (hace unos ocho años) y en aquella generación de estudiantes, era sensible que la mayoría de ellos no estaban muy interesados en la matemática y mi problema como profesor era interesarlos, así que tomé como punto de partida para ello, el realizar una conceptualización general de lo que desde mi punto de vista constituye el quehacer cotidiano de un profesional de la informática.   En el estudio de esta disciplina -les decía-, habrán de hacerse de varios lenguajes y/o herramientas de programación (Cobol, RPG, C, Lisp, C++,... etc., denotadas genéricamente por HPi).   Cada una de las herramientas de programación (HPi), tiene definida una sintaxis en cuanto conjunto de símbolos y reglas para generar combinaciones válidas de ellos, a las que habrá que hacer una asignación de significados constituyéndose de esta manera una semántica, todo esto, como producto de los modos de uso y/o aplicaciones de las herramientas de programación o lenguajes, constituyéndose así una pragmática.   Por otro lado, como parte de su ejercicio profesional les habrán de ser propuestas situaciones problema provenientes de las más diversas disciplinas o contextos (educación, administración, física, química, matemáticas, salud, ecología, política, etc) y su problema será el elegir su mejor herramienta de programación para construir un vínculo bidireccional (software interfase reversible) entre las condiciones de la situación problema original y la computadora.
 
Nótese que la situación problema original, al estar ubicada en algún campo disciplinar o contexto de procedencia, está permeada por la ``jerga" lingüística que le es propia.   De esta manera, el ejercicio del profesional de la informática tiene mucho que ver con el conocimiento profundo (hasta un nivel funcional competente) de los aspectos pragmático, semántico y sintáctico de un buen número de herramientas de programación y la habilidad de identificar las que se adecuen al caso particular de una situación problema dada.

Así pues, el problema y la solución visto desde aquí, parece ser el de construirse una gran habilidad para investigar, usar, adaptar y operar con los aspectos pragmático, semántico y sintáctico de las herramientas de programación y de las correspondientes al campo de procedencia del problema.

En este contexto, la matemática pudo ser enfocada significativamente para los mencionados estudiantes, al enfatizar que ésta resulta ser el lenguaje natural para expresar las relaciones cuantitativas esenciales de una situación problema, de ahí que ellos (los estudiantes de informática) podrían y deberían considerar a la matemática como un asunto muy cercano a su interés.

La extrapolación a un contexto más amplio de esta primera idea me resultó bastante natural, al conceptuar a los estudiantes de cualquier carrera como individuos que continuamente están en la necesidad de descubrir las formas de uso y/o los modos de aplicación de los contenidos de las cuatro o cinco disciplinas que abordan semestralmente, y en general; al visualizar al humano que aborda la jerga y formas que su entorno lingüístico le proponen.
 

Aún más, algunos profesores solemos hacer ``saltos " (Ver Fig. 6) de la jerga de un campo disciplinar a la de otro sin apenas un comentario al respecto, dejando la impresión de cierta maestría mágica en la que los profanos estudiantes no están aún iniciados.

 El tipo de práctica ilustrado deja ocultos los recursos heurísticos de los que nos hemos auxiliado para llegar a esta clase de ``magia".

En este -generalmente inconciente- ocultamiento de recursos, están incluidos los éxitos y los fracasos cometidos al ir depurando una técnica, personal e intransferible, para acercarse a la significación.

 

La ``magia" se desvanece al exhibir (esta es la parte explicada) que la lengua materna ha servido -en todo caso- como la plataforma inicial y/o natural para la realización de transferencias o mapeos de las funciones lingüísticas (pragmática, semántica y sintaxis) de una jerga disciplinar, a la de otra (Ver Fig. 7).

Al principio, esta transferencia es realizada por imitación, después con un fuerte apoyo en la lengua materna y buscando los registros locales que las funciones lingüísticas de una jerga disciplinar hacen en la otra (mapeos).

Es sólo con la articulación de ``muchos" mapeos que empiezan a darse emergencias significantes y significativas de los registros que hace una jerga en la otra, en virtud de haber conformado un isomorfismo que potencia la interpretación significativa en y desde la lengua materna.

Corresponde el momento -después de su experimentación, uso y descubrimiento relacional- de formalizar aunque sólo sea localmente, la clase de correlatos de transferencia directa de una jerga a otra, que es a final de cuentas, lo que potencia la realización de los ``saltos ".

De esta manera, lo que al principio se manifestaba como imitación, lentos pivoteos sobre la lengua materna, experimentación, descubrimiento, uso, formalización (al menos local) de los mapeos de correspondencia entre una jerga y otra; se manifiesta en un estadio avanzado, en una forma sincrónica más acabada, que excluye los pivoteos sobre la lengua materna y de ser posible hasta los signos intermedios y manipulaciones, que a manera de andamiaje, ahora son retirados no obstante su utilidad en los primeros ``saltos".

Sin embargo, es precisamente este desligarse de lo concreto, lo que potencia la velocidad en la expresión y en el movimiento cognitivo entre la morfología propia de los objetos de una disciplina, y la correspondiente a los objetos de otra (o aún de ella misma); no obstante, las correspondencias isomórficas particulares se han perdido en ganancia de una generalidad metasituacional.

  Éste es uno de los recursos más usados y más poderosos de la matemática, pues en cada ocasión en que la morfología o la estructura sintáctica (lógico formal) parece haber llegado a un nivel de saturación en su capacidad de representación, se emprende un nuevo orden de abstracción inventando símbolos cuya carga semántica está, por decirlo de alguna manera, más compacta; descargando en los del orden de abstracción anterior las significaciones "demasiado particulares" que los han saturado.   Es en este contexto, que la diversidad morfológica disciplinar y la pretensión de su estudio, parecen tener un recurso plausible, pues al reconocer como elementos protolingüísticos a las funciones pragmática, semántica y sintáctica pivoteando sobre nuestra lengua materna, el problema se reduce -al menos teóricamente-, a proponer que cierta competencia lingüística puede obrar como un factor de transferencia importante entre las jergas lingüísticas particulares.   En articulación con lo anterior, la matemática ofrece como disciplina, la posibilidad casi única - frente a otras - de acercamiento a las estructuras lógico-formales del pensamiento.

En este acercamiento, la matemática cobra una función metalingüística al posibilitar el modelado y manipulación de gran cantidad de problemas.

Las habilidades en esta función metalingüística potencian la transferencia del lenguaje especial de una disciplina, al lenguaje de otra, y en general potencian la significación que sobre los asuntos de la misma disciplina pudiera requerirse organizar, teniendo como pivote fundamental a la lengua materna y como substrato a las funciones lingüísticas pragmática, semántica y sintáctica .

En la matemática, la función metalinguística a la que se hace mención, parte desde un objeto relativamente concreto y del reconocimiento de un problema, hasta un nivel de abstracción de n-ésimo orden, para determinar la solución simbólicamente y regresando luego al objeto inicial para realizar una aplicación de los resultados obtenidos.

Por ejemplo: tomemos una situación problemática planteada frecuentemente en los cursos de cálculo diferencial: se tiene una hoja de papel de -digamos- 21.6 cm de ancho por 27.8 cm de largo para construir una caja sin tapa con el máximo volumen posible, bajo el expediente de retirar un cuadrado en cada esquina y doblar las "cejas" que sobresalen, como sugiere la siguiente secuencia de figuras.
 

Ante la consigna de construir una caja con una hoja de papel tamaño carta (aproximadamente de 27.8 X 21.6 cm) bajo el procedimiento descrito y que cumpla con el requerimiento establecido en la situación problemática (... con el máximo volumen posible...), el primer problema es por supuesto de orden semántico y luego pragmático, es decir: ¿Qué entender? y luego ¿Cómo operacionalizar en una intención concreta este requerimiento?

Aclarado el punto, de construir una caja cuyo volumen sea el mayor posible, en el sentido de construir una caja con la mayor capacidad posible, cada elemento en el grupo de participantes podría dar su opinión al respecto, construyendo una caja.

De la puesta en común de estas cajas (a manera de opiniones), lo más posible es que se tengan tantas opiniones diferentes como elementos del grupo, las que a su juicio personal cumplen con los requerimientos solicitados.

¿Quién ha construido con justeza la caja requerida?, acaso en el intercambio oral de opiniones alguien sugiera (como pudiera ser el caso del lector) que todas las cajas tienen la misma capacidad, aduciendo que cada una de las cajas fue construida con una hoja del mismo tamaño que las otras.

En cualquier caso, lo interesante aquí es disponerse a constrastar (tanto personal como colectivamente) la justeza de la opinión concreta en cada caja, es decir: ¿Cómo averigüar quién tiene la razón?

De manera natural -al menos en este caso-, el disponerse al contraste de las hipótesis conduce al cálculo. Pidamos ahora que cada opinión (cada caja) sea traducida a términos más operativos, pidiendo a cada participante que mida y a continuación multiplique largo, ancho y altura de la caja para obtener su capacidad, disponiéndose con ese dato a contrastar su opinión con la del resto del grupo.

El primer sorprendido será aquel que creyó que todas las cajas tendrían la misma capacidad, bajo el argumento de que todas ellas han sido construidas con hojas del mismo tamaño inicial, hipótesis que se viene por tierra al socializar las capacidades de las cajas construidas, pues queda claro que en la muestra (pues no han sido construidas todas las que es posible considerar) hay unas con mayor capacidad que otras.

Por supuesto, en la muestra es posible elegir la que tiene mayor capacidad de entre ellas, pero el problema subsiste pues, ¿Se corresponde la caja con la mayor capacidad elegida de esta muestra, con la que tiene mayor capacidad de entre todas las que es posible construir bajo las condiciones descritas en la situación problemática inicial?

Esta dificultad adicional o refinamiento del problema, conlleva a una nueva necesidad, consistente en la elección de entre todas las que es posible considerar, la que tiene mayor capacidad.

Una breve reflexión o quizá varios intentos empíricos debieran bastar para convencernos de que no es posible (como lo fue con la muestra) escribir el listado de las capacidades de todas las cajas que es posible considerar pues este último es, desde luego, un conjunto infinito.

Así pues, estamos frente a un problema de representación, a saber: ¿Cómo representar las capacidades de todas las cajas que es posible considerar para elegir de entre ellas a la mayor?

Esto exige por supuesto otros niveles de abstracción, pues deben definirse asignaciones sígnicas a los elementos esenciales del problema y a las relaciones entre ellos, para en términos de éstas, sintetizar la infinidad de representaciones particulares de la capacidad de todas las cajas que es posible considerar.
 

Haciendo las convenciones que se indican en la figura siguiente, es posible construir una representación para la capacidad de las cajas que engloba todos los casos particulares: C = largo · ancho · altura, es decir:  .   Esta construcción constituye no sólo la concreción de otro nivel de abstracción -aunque suene paradójico-, sino que por ello mismo constituye una construcción metalingüística en cuanto permite referirse a una característica como la capacidad (ya que pueden construirse representaciones de otras características geométricas como la superficie, o asociadas como el costo) de la caja representada en el dibujo, que a su vez, representa a una caja real, es decir: en la expresión  está condensado un ``nido"de representaciones sucesivas cada una a un nivel superior de abstracción en referencia a la anterior, situación a la que a mi vez, haré referencia con otra construcción como se muestra en la figura de enseguida:
 
Una de las características más notables de la expresión
es que su manipulación sintáctica y/o gráfica, permiten el estudio tanto local como global del comportamiento de todos los casos particulares de la situación real sin la desventaja de las limitaciones físicas impuestas por los materiales para su construcción, los instrumentos con los que se cuenta y el tiempo empleado en su realización.
 
La posibilidad de estudio tanto local como global, resulta evidente en cuanto abordamos una representación alterna (gráfica) de la expresión para C (capacidad) en términos de x (la altura), en la que se exhibe el correlato entre las dos variables.   De esta manera, la gráfica permite visualizar la existencia de un valor particular (x=x0) de la altura de la caja entre 0 y h con el que se tiene que la capacidad de la caja es máxima, es decir C(x0) es el máximo de todos los valores que puede tomar C para los que el modelo se adecua a la situación real.   Sin precisar en este escrito cómo es posible determinar el valor particular x=x0 para el que C toma su valor máximo, sólo diré que el encontrarlo permite formular una consigna que concreta la solución del problema, en este caso: ``para construir la caja con la máxima capacidad, córtese en cada esquina de la hoja, un cuadrado de lado x=x0." En este ejemplo debe hacerse notar tanto una profundización en el nivel de abstracción de las construcciones como un incremento en la "distancia" que las sucesivas construcciones van tomando del objeto real.   La "distancia" a la que se hace mención y la articulación de las sucesivas representaciones, es desde mi punto de vista, lo que potencia la formulación de estrategias de transformación y búsqueda de la solución, reduciéndose ésta a cero en dos momentos: cuando no se ha tomado todavía tal distancia y cuando las manipulaciones de las representaciones metalingüísticas sugieren el cómo construir una (o varias) consigna(s) de acción sobre lo concreto que resuelve(n) el problema.   En este sentido se afirma que la función de admiración en tanto tomar "distancia" del objeto estudiado, cobra una particular relevancia en cuanto función propedéutica para la concepción y/o evolución conceptual.   Al interior de la matemática, también podemos encontrarnos con situaciones en las que disponiendo de varias "herramientas" matemáticas para abordar un problema, tengamos que elegir la que más se adecue a nuestro problema, para construir una (o varias) estrategia de solución mediante la manipulación de un modelo que, a manera de interfase bidireccional entre la situación original del problema y otros estadios que pudieran significar su solución, soluciones o aún, la ausencia de solución como solución, permita el contraste de nuestras estrategias.   Desde esta óptica, lengua materna y matemáticas están llamadas, a jugar un papel central en educación, pues mientras que la primera es el lugar común natural, la segunda permite construcciones más elaboradas en los ámbitos metalinguístico y lógico-formal.   Desde luego, las anteriores conjeturas abren al menos otro expediente de investigación: ¿Qué es y cómo se logra la competencia lingüística? ¿Cómo está relacionada ésta con la generación de estrategias para resolver problemas? ¿En qué sentido puede funcionar como un factor de transferencia entre los dialectos disciplinares?  

Competencia Lingüística y Solución de Problemas

El reconocer que la morfología de las situaciones problema puede ser de lo más diverso en términos de las particularidades de las disciplinas, y el pretender abordarla, conduce sin lugar a duda, a un ámbito de estudio demasiado amplio y posiblemente infructuoso.   En cambio, el referirse a unas pocas de cosas como elementos invariantes o comunes a las diversas manifestaciones morfológicas de las situaciones problema (según su procedencia o entorno natural), podría simplificar el objeto de estudio y tener fuertes implicaciones sobre el diseño de situaciones prácticas.   Es en este sentido que me he referido antes a las funciones lingüísticas pragmática, semántica y sintáctica.   El reconocer a estas funciones como elementos protolingüísticos, permite entonces replantear el problema de la transferencia entre los diversas representaciones, pivoteando deliberadamente sobre la habilidad de uso, análisis y asignación de significados desarrollados en nuestra lengua materna, es decir, sobre la Competencia Lingüística lograda en nuestra lengua materna.   Bruna Radelli (1994) nos proporciona un acercamiento a la caracterización de este concepto, diciendo:   << ... la competencia lingüística consiste, pues, en la capacidad de producir y reconocer estructuras sintácticas y de reconocer el significado que tiene cada una de ellas >> Así pues, el definir en qué consiste que una persona sepa su lengua, es decir, el que tenga competencia lingüística está en relación directa con los arreglos sintácticos y la significación que en ellos sea reconocida por el hablante.   En apariencia la aproximación resulta inocua, sobre todo cuando no se ha precisado que Radelli hace notar la diferencia entre comunicación y competencia lingüística, cuando afirma por ejemplo, que las frases:
 
"El niño querer comer"
"Los círculos es una figura geométrica"
bien podrían servir para comunicarse hasta con un extranjero, aunque un hablante nativo puede identificarlas como no-oraciones u oraciones mal formadas.   Esta precisión enfatiza que el hablante nativo percibe de manera inmediata una malformación sintáctica a pesar de que pueda servir para la comunicación.   En cambio, un hispanohablante podría sentirse incómodo con las frases
"La hormiga aplastó al elefante"
"El bebé mordió al tigre"
"Mi abuela tiene ruedas y es bicicleta"
"Los círculos son cuadrados"
a pesar de ser sintácticamente correctas, porque reconoce que no tienen mucho sentido en su mundo real, y también reconoce que son gramaticales e interpretables, aunque esto último no es derivable de su mundo real, en el cual no encuentra evidencias que las apoyen.   Su interpretabilidad tampoco es derivable del significado específico de las palabras usadas, pues estas no pueden dar cuenta del significado global de la oración como articulación de sus significados particulares.

En el ejemplo siguiente se usan las mismas palabras, con los mismos significados (por supuesto), para mostrar que diferentes articulaciones entre ellas, dan cuenta de significados globales totalmente distintos:
 

"Juan mató a Pedro"
"Pedro mató a Juan"
Así pues, esto muestra que las articulaciones sintácticas son generadoras y/o creadoras de significado, agregando significado a los significados de las palabras.

Podría pensarse que es posible observar el agregado de nuevos significados cambiando la articulación sintáctica, sólo cuando este hecho involucra permutaciones entre los elementos componentes de la expresión, lo que no es necesariamente cierto, pues por ejemplo las expresiones:
 

"Dame los libros y los cuadernos nuevos"
"Nadaba el pato en el agua y el gato sentado en su cola no se mojaba"
tienen -cada una de ellas- por lo menos dos interpretaciones derivadas de diferentes articulaciones sintácticas, aunque estas articulaciones no han sido realizadas permutando componentes (como en las frases de Juan y Pedro), sino han sido derivadas directamente de lo que Radelli llamaría competencia lingüística, y yo agregaría que han sido realizadas en y desde el Universo Semántico del lector.

Por otro lado, cuando un individuo se enfrenta a un problema, esperaríamos que dependiendo de su madurez, abordara la visualización de uno o más caminos a manera de estrategias para encontrar la solución del problema.

¿Qué es una estrategia en este contexto lingüístico? ¿Cómo y porqué se elige alguna de ellas?

Los problemas (no necesariamente escolares) están dados más por una situación que por un enunciado que los concreta y circunscribe.

En términos generales, quien acepta una situación como problema se enfrenta a tener que recuperar de ella o de su entorno los elementos que a su juicio resulten esenciales en cuanto significación y representatividad de la situación.

Estos elementos y sus interrelaciones, enunciados o nó, constituyen los signos que representan -a juicio de quien intenta la solución- la situación problema.

Estos signos pueden, por supuesto, ser articulados en compañía de otros, que experiencias previas han proporcionado, para construir diversas articulaciones sintácticas, cada una de ellas con un cierto nivel de significación en cuanto el universo semántico del individuo.

Así pues, resolver un problema querría decir realizar una -o varias- transformación en y desde la articulación sintáctica entre los elementos originales de la situación problema, hacia y hasta la articulación que le significa -a quien lo resuelve- el estado solución del problema.

En este contexto, se visualizan diversas secuencias de articulaciones que permitan la transformación de un estado a otro, las que para efectos de elección son evaluadas en el Universo Semántico del individuo y porteriormente contrastadas en su carácter hipotético de estrategia de solución.

Desde esta perspectiva formular, elegir y contrastar hipotéticas estrategias de solución a un problema disciplinar (en este caso matemático) tiene que ver directamente, con que el individuo posea cierto nivel de competencia lingüística-matemática, por hablar en los términos de la correspondiente a la lengua materna.

Vale comentar que, para resolver un problema, no es suficiente (aunque si necesario) que un individuo identifique y comunique correctamente todos los elementos esenciales para la solución del problema, ni de que domine todas las operaciones y significados de y entre los elementos del problema, si no posee la competencia que le permita construir las articulaciones sintácticas pertinentes y competentes entre elementos y operaciones que le habrán de significar la solución.

Esto último, es lo que desde mi punto de vista permite formular estrategias (como transformaciones sintácticas significantes y pertinentes que permiten el tránsito de un estado a otro), y finalmente, evaluar desde su universo semántico, la plausibilidad de alguna elección particular.

Se está ahora en la posición de disponerse al contraste de la estrategia, en cuanto intrumento que potencia el tránsito entre el estadio de una situación como problema y los estadios advertidos como solución.

En este momento se hace necesario dar una versión operativa al concepto psicogenético de problema, pues no es suficiente -ni para la enseñanza ni para el aprendizaje- abordar esta noción sólo hasta el nivel de su génesis psíquica y el papel que este juega en cuanto detonador epistémico.

En articulación con ésta versión, han de proveerse de recursos que permitan concretar primero y luego transformar, los correlatos entre las variables esenciales de la situación aceptada como problema (en el sentido antes descrito) hasta un estadio de significación que satisfaga los requerimientos de los correlatos establecidos y los que correspondan a quien resuelve la situación que se aborda.

Para ello, se requiere que la forma de concreción elegida, tenga la característica especial de vínculo bidireccional, entre el estadio de una situación aceptada psíquicamente como problema y los estadios advertidos como solución, pues es precisamente este vínculo es el que nos dará la oportunidad de contrastar la adecuación de los últimos a los requerimientos de la primera.

En términos más operativos, diré que surge una situación problema cuando una barrera interfiere el curso natural de la acción ejercida por un ser humano en la dirección de acercamiento -de cualquier índole- a un objeto de interés para él.

La percepción de esta barrera es desde luego producto de haber cubierto la función de admiración, en tanto propedéutica de la acción transformadora.

Esto es, la mera percepción de la barrera es un acto no trivial que desde mi punto de vista involucra una especie de desdoblamiento del pensamiento que permite ver a distancia -función de admiración- los detalles y singularidades de su propia acción.
 

Este desdoblamiento y la percepción de la situación, es lo que permite detener la inercia de la acción y potenciar el que el pensamiento actúe en otra dirección, en la dirección de transformar la situación problema percibida.
 
Para transformar la situación, el pensamiento recurre generalmente a la creación de un modelo simbólico de la situación problema, pues este será su instrumento para concretar, comunicar, modificar, comparar, etc., a la situación problema percibida.

Es en este sentido que un problema es la percepción de una situación problema y su simbolización modélica desde el universo semántico del individuo.

Es así que la percepción o interiorización de una situación problema (noción psíquica de problema) no es transferible, pues implica el acto personal de darse cuenta desdoblando el propio pensamiento.

De esta manera, un problema es incomunicable en su totalidad, a lo más a que podríamos aspirar es a comunicar la simbolización modélica construida por nosotros, la que desde luego, no es necesariamente significativa para nuestro interlocutor.
 

De esta manera, el modelo simbólico en su calidad de vínculo bidireccional entre los estadios extremos denominados situación problema y solución, cobra un papel de primera línea.

Todo esto conlleva, desde luego, a la apertura de nuevos expedientes de investigación, a saber: ¿Cómo se propicia la competencia lingüística? ¿Es posible abordar desde esta perspectiva la solución de cualquier problema? ¿Qué es un problema desde el punto de vista sintáctico-morfológico? ¿una enunciación o una situación de morfología abierta y no circuscrita al enunciado? ¿la propuesta de una transformación? ¿la propuesta de transformaciones abiertas? ¿qué es la solución? ¿Qué es un modelo? ¿De cuales tipos de modelos simbólicos puedo disponer? ¿Hay otros tipos de modelos?, etc..

 

Oralidad y Escritura

Quiero referirme ahora a uno de los recursos más importantes de los organismos, este es el de autoregulación; concepto al que diversas disciplinas le asignan otros nombres como: homeostasis, ciclo de retroalimentación o de control, reflejo, propioceptividad, monitoreo, etc.

Norbert Wiener comenta:

  <<...ciertas clases de máquinas y algunos organismos vivientes, particularmente los superiores, pueden modificar sus modos de conducta, basándose en la experiencia anterior, para obtener fines antientrópicos [p 45] y un poco más adelante , afirma:   << Esta teoría de la retroalimentación en los grupos humanos, tiene un enorme interés sociológico y antropológico [p 46] Por su lado, Ludwig Von Bertalanffy <<Pero la entropía, como ya sabemos es una medida del desorden; ... [p 42]

<<Otro concepto céntrico en la teoría de la comunicación es el de retroalimentación [p 43]

<< Hay, por cierto, gran número de fenómenos biológicos que corresponden al modelo de retroalimentación. Está, primero, lo que se llama homeostasia, .... [p 43]
 

Deriva un poco después en mención específica de la cibernética, diciendo: << Gran variedad de sistemas tecnológicos y de la naturaleza viviente siguen, pues, el esquema de retroalimentación, y es bien sabido que Norbert Wiener creó una nueva disciplina, llamada cibernética para tratar estos fenómenos. [p 44] En Vigotsky encontramos mención explícita de Piaget en cuanto al pensamiento reflexivo y el discurso interno: <<Piaget and others have shown that reasoning occurs in a children&acute;s group as an argument intended to prove one&acute;s point of view before it occurs as an internal activity whose distinctive feature is that the child begins to perceive and check the basis of his thoughts. Such observations prompted Piaget to conclude that communications produces the need for checking and confirming thoughts, a process that is caracteristic of adult thought. In the same way that internal speech and reflective thougths arise from the interactions between the child and persons in her environment... En un contexto epistémico, estos recursos de autoregulación o propioceptivos son de particular importancia, aún más, yo diría esenciales, para el desarrollo y la profundización en los detalles más finos de la producción cognitiva humana.   Empezaré por decir que el diálogo constituye una herramienta para la construcción de significantes y significaciones. Desde muy temprana edad, el humano empieza a asociar situaciones y respuestas (de agrado, desagrado, satisfacción, etc) con la producción de ciertos fonemas que aunque primitivos, le permiten iniciarse en la significación e interpretación de su entorno.   Este ``darse cuenta" - admirar -, personal e intransferible al que antes he hecho referencia, tiene una función propedéutica para la producción y transformación autoregulada de los signos (fonemas, señas, actitudes, etc.).   Esta producción , al principio parece ser aleatoria y es sólo en la medida en que el individuo recibe un número importante y cualitativamente diverso de respuestas , que empieza a aislar y elegir los signos (señas, fonemas, gestos, actitudes, etc.) para significar lo que él desea, como producto de un proceso más o menos largo, de afinación y pulimento de los casos particulares con los que ha tenido contacto.

De esta manera, así como en la primera edad resulta un problema mayúsculo el desarrollar la propioceptividad o recursos autorregulatorios para la producción lingüística significante y significativa en un contexto educativo no sistematizado, en el contexto y edad escolar se tiene un problema análogo: el de desarrollar elementos que permitan una autorregulación cognitiva, a fin de potenciar la pertinencia de las acciones y manifestaciones personales en el nivel en el que una situación o entorno epistémico lo sugieren o aún más, lo requieren.

En todo caso, el ejercicio de estos recursos o procesos recursivos de oralidad y escritura al actuar iteradamente sobre el producto de la acción anterior, van decantando la producción desde un desorden aparente e ininteligible hasta un nivel en el que se hace aparente un orden, manifiesto en una forma, un concepto, un esquema, etc.

Esto es, al ir afinando la representación como producto de un proceso recursivo, se hace más probable la concreción de una interpretación.

Parece ser entonces, que este tipo de procesos funcionan a manera de algoritmos que, usados de manera pertinente, optimizan (buscando su máximo) la probabilidad de lo adecuado de la representación y la interpretación significativa.

En este sentido, creo que la oralidad y la escritura constituyen recursos que potencian la autoregulación cognitiva, en cuanto dejan ``ver" (tanto a uno mismo como a otros) el nivel de organización conceptual logrado por un individuo.

Aún más, la producción escrita permite, por su característica de objetividad sígnica, la manipulación transformadora y en este sentido se constituye en un recurso invaluable para decantar la precisión y finura deseada en los procesos de comunicación, descripción y argumentación que así lo requieran.

De esta manera se plantea una diferencia apenas esbozada, pero que vale la pena enfatizar: la diferencia entre el individuo que cree en lo que piensa y se somatiza con aquello que cree, sin ejercer una autoregulación cognitiva; y el individuo que ejerciendo la autoregulación es capaz de admirar su expresión escrita, tanto en la posibilidad de confirmación, cuanto en la infinita posibilidad de refutación y en consecuencia, de transformación creadora.

El primero se estanca y posiblemente se mantiene "siguiendo la corriente", el segundo avanza cognitivamente en ciclos de creación y recreación iterada, sin negar por ello que "la corriente" tiene sus propios ciclos creativos, aunque la duración de la mayoría de ellos excede el ciclo vital humano.

El primero cree y no abandona (eventualmente no socializa sus ideas), el segundo exhibe y critica su producción abandonando las posiciones refutables por él o por su entorno.

El primero sufre cada vez que le cuestionan -le resulta difícil abordar nuevos tópicos-, el segundo ve en cada refutación la oportunidad de conseguir un mejor sistema de creencias temporales.

La semblanza anterior exhibe, desde luego, extremos teóricos de la existencia y uso de los mecanismos autoreguladores de la producción cognitiva, y no pretenden, ni con mucho ser exhaustivos.

En cualquier caso, creo que la producción oral y escrita, se constituyen en excelentes elementos para la socialización y la consecuente regulación por este hecho, de la producción cognitiva; ya sea a nivel individual o colectiva.

En este sentido, la oralidad y la escritura permiten ``poner en la mesa de discusiones" y en todo caso regular las eventuales arbitrariedades a que podría conducir la producción cognitiva de los individuos.

Entre la oralidad y la escritura, esta última tiene una mayor dificultad, aunque es desde luego la que ofrece mayores dividendos tanto a nivel personal como colectivo, pues permite por un lado, tener evidencias -si bien no exhaustivas- del nivel de organización conceptual alcanzado por el individuo, y por otro, desprendida de su manifestación objetiva, la posibilidad de transformación recursiva.

Por este hecho, postulo a la escritura como un elemento dialógico de investigación y desarrollo de la estructura cognitiva de un individuo, sea que el diálogo esté dirigido a él mismo, o a los individuos en su entorno.

Es justo este diálogo recursivo y su potencia transformadora de los significantes y significados plasmados en la producción escrita, lo que posibilita el pulimento y tránsito hacia estadios superiores del universo semántico de los individuos en una producción que por obra de la socialización, le es posible transitar desde una "aberrante" (por solipsista) sub-jetividad, hasta una co-subjetividad "aceptable" (por compartida).

En Popper encuentro algunos elementos adicionales de apoyo, entre los que se postula a las funciones descriptiva y argumentadora [p 118]

como a las creaciones humanas más importantes, tanto como las que tienen efectos de retroalimentación sobre nosotros mismos y en especial sobre nuestros cerebros.

En primer lugar, en el contexto de

<<...la función descriptiva del lenguaje humano emerge la idea reguladora verdad, es decir, la idea de una descripción que encaja con los hechos [p 118] en adición, <<La función argumentadora del lenguaje humano presupone la función descriptiva, en cuanto los argumentos versan necesariamente sobre descripciones [p 118] En este punto aparece la necesidad de un lenguaje descriptivo exosomático y además escrito, que -a manera de herramienta- proporcione los objetos de discusión y argumentación críticas.   En segundo lugar, <<nuestra humanidad, nuestra razón, se la debemos a este desarrollo de las funciones superiores del lenguaje, ya que nuestros poderes de razonamiento no son más que poderes de argumentación crítica [p 118] Es así que:   <<En la evolución argumentadora del lenguaje, la crítica se convierte en el instrumento fundamental del desarrollo ulterior. [p 119] Las funciones que en todo caso no poseen los lenguajes animales y que por ese hecho distinguen y posibilitan al humano su desarrollo y evolución cognitiva, son las funciones descriptiva y argumentadora.   Y aunque estas funciones   << ... sean consecuencias involuntarias de nuestras acciones, como es natural, el desarrollo de estas funciones es cosa nuestra. La argumentación crítica y el conocimiento en sentido objetivo sólo se hacen posibles dentro de un lenguaje enriquecido de este modo ... [p 119] Es de hacerse notar la coincidencia entre Popper y Radelli, aunque en tiempos, campos disciplinares y por razones distintas; ésta última en relación a la importancia secundaria que le concede a la función de expresión o comunicación frente al desarrollo de las habilidades que denotan una competencia lingüística.

En Popper, a las funciones de comunicación se las tipifica como funciones inferiores, en cuanto exentas de poder de discriminación entre los lenguajes animal y humano.

En ambos autores, se encuentra y precisa una razón que privilegia otros aspectos o funciones lingüísticas y/o epistémicas, por lo común no contempladas por la mayoría de los filósofos (a decir de Popper), y finalmente desembocan en la necesidad de elementos lingüísticos de descripción y análisis de la propia actividad y de la ajena en vias de potenciar mediante la oralidad y escritura (a decir mio), el desarrollo recursivo de estadios cognitivos superiores.

 

La Representación y la Evolución Cognitiva

Ya en Casirer se afirma que   <<...toda determinación y dominio teóricos del ser dependen de que el pensamiento, en lugar de vérselas directamente con la realidad, elabore un sistema de signos y aprenda a utilizar estos signos como ``representantes"de los objetos. Desde esta postura, no es posible transitar hacia estadios cognitivos más avanzados, si no se poseen elementos sígnicos susceptibles de transmutación y/o manipulación transformadora.   Esta manipulación habrá de darse sobre los signos que denotan las conjeturas y teorías formuladas lingüísticamente, consignado en Popper [p 77] con el nombre de ``mundo 3", esto es, el mundo de las representaciones sígnicas en su sentido más amplio, y en particular de las consignadas por escrito en algún medio físico o electrónico.   En el apartado anterior ya se ha esbozado que el tener un cierto nivel de competencia lingüística rebasa la estricta posibilidad de comunicación, y también, por otro lado, que la escritura es un elemento dialógico de investigación y desarrollo de la estructura cognitiva de un individuo.

Es decir, en la medida en que se logra la concreción de las ideas en lo escrito, se está en la posibilidad de manipulación objetiva sobre la representación de las ideas o conceptos. Así pues, las representaciones lingüísticas en un sentido amplio, constituyen representaciones objetivas susceptibles de manipulación para la transmutación de sus significados e interpretaciones.

Siguiendo otra vez a Cassirer, es de hacerse notar que la función simbólica no debiera circunscribirse al plano del conocimiento conceptual o "abstracto", pues se perdería de vista la perspectiva sobre la totalidad de las dimensiones de la representación. Es decir, esta función no se corresponde a un solo estadio de la imagen teórica del mundo sino que condiciona y porta a la totalidad de ésta.

En esta perspectiva, el mundo de las imágenes del mito, las estructuras fonéticas del lenguaje y los signos de los cuales se sirve el conocimiento "exacto", determinan cada uno una dimensión propia de la representación.

Por otro lado, las manipulaciones dependen por supuesto, de la sintaxis propia del lenguaje o recurso en, o con el que se ha realizado la representación.

La asignación de significados o interpretaciones depende, por un lado, de la construcción de un isomorfismo entre la nueva estructura sintáctica y una o más de ellas realizadas antes, ya sea en la misma jerga lingüística o aún en otras y , por otro, del nivel de co-subjetividad logrado por la interpretación en el contexto social de su praxis.

En este sentido, la vertiente semántica o de asignación de significados, funciona como objeto a lograr tanto como herramienta para lograr otros significados, en una interacción dialéctico-recursiva.

Merece comentario especial la característica de recursiva, pues desde mi punto de vista es ella la que potencia la posibilidad de configuraciones cognitivas superiores, las que generalmente suelen tener configuraciones complejas y dinámicas; dos atributos deseables en el desarrollo cognitivo de un individuo.

En una entrevista realizada por Francisco Huneeus , Humberto Maturana opina que:

<<Yo pienso que el lenguaje surge y opera como un modo particular recursivo de coordinaciones conductuales en la convivencia. ... Siguiendo con la idea, creo que es precisamente esta característica de recursividad inherente a su desarrollo, la que no sólo es capaz de crear estructuras complejas y evidentemente dinámicas de pensamiento, sino que ejercida sistemáticamente, potencia también el tránsito bidireccional entre el caos y el orden cognitivo.

En un sentido, es posible el tránsito entre la miríada cuasi-aleatoria de concepciones o interpretaciones y la posibilidad siempre presente de lograr nuevas articulaciones sintácticas pertinentes y competentes lingüísticamente, agregando con ello nuevos significados globales a los significados.

En otro sentido, el ya conocido trabajo de Gödel en el que se evidencia la existencia de puntos oscuros en cualquier estructura lógico formal., en adición a esto, el trabajo de Verhulst, en el que la aplicación iterada de un algoritmo recursivo determinista, , conduce al caos y los ejemplos colectados aquí y allá de variación aleatoria recursiva que conduce al orden y la explicación; me llevan a creer que la evolución cognitiva está generada por cuando menos un proceso recursivo (cuasi-aleatorio o cuasi-determinista?) y sugiero que éste es el de la producción lingüística alimentando de manera recursiva con este producto, al proceso cognitivo.

Vista la cognición desde este punto de vista, quizá podría resultar natural el conceptuarla como un fractal, de lo que podríamos esperar por razones que les son inherentes -tanto a la cognición como a los fractales-, que sus manifestaciones morfológicas resultaran infinitas e insospechadas.

Por otro lado, la dimensión de los objetos que sería posible tratar -desde una tal concepción de la cognición- se amplía, en cuanto que ésta puede ser no necesariamente entera, es decir; la cognición conceptuada como un fractal pone a su alcance a objetos no necesariamente euclideanos, esto último en un sentido no trivial.

  El carácter del sentido no trivial al que se hace alusión, estaría proporcionado no sólo por el cambio de alguno de los postulados euclideanos y la generación coherente de una colección de teoremas desprendiendo así, una u otra geometría no euclideana, aunque a final de cuentas construidas con elementos euclideanos (puntos, rectas, planos) de dimensión entera; sino, por elementos geométricos intrínsecamente diferentes y sin las restricciones dimensionales euclideanas, denominados fractales.   La falsificación que se presenta en la figura de enseguida, ha sido generada por computadora. En ella se muestran tres figuras fractales, el paisaje del primer plano, su distribución de cráteres y la generalización del movimiento Browniano sobre una esfera naciente en el fondo, todas comparten la característica de auto-similitud.   La magnificación de subconjuntos de estas formas, son de nueva cuenta reminiscentes de la totalidad.

El hecho de que estos fractales primitivos generados por computadora evoquen fuertemente las formas del mundo real, constituye una pista de su importancia en relación a las formas de la Naturaleza.

  Según Galileo (1623),
  La filosofía está escrita en ese gran libro -quiero decir el universo- el cual permanece continuamente abierto a nuestros sentidos, pero que no puede ser entendido a menos que se aprenda a comprender el lenguaje en el cual fue escrito. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales sería humanamente imposible entender una simple palabra en él; sin esto, uno se encuentra en un laberinto oscuro. En esta cita, Galileo presenta varias de las tendencias básicas de la ciencia occidental.
Sin embargo, Galileo equivocó los términos del dialecto preferido de la naturaleza.

Es sólo de manera muy reciente que ha sido advertida la impotencia de los triángulos y círculos de la geometría Euclideana (el dialecto mencionado específicamente) para describir el mundo real.

  Retrospectivamente; es obvio que,   "las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son círculos y que una corteza no es suave, así como la luz no viaja en línea recta".
Mandelbrot
Matemática Postmoderna
Existe ahora un nuevo dialecto, una nueva rama de las matemáticas, que es más apropiada para modelar las formas irregulares del mundo real, la geometría fractal.

Algunas características distintivas entre los objetos euclideanos y los objetos fractales son resumidas en la siguiente tabla:

 
Geometría
Lenguaje matemático para describir, relacionar y manipular las formas
Euclideana
Fractal
Tradicional data de más de 2000 años Monstruos modernos: Aprox. 17 años
Basada en escalas restringidas No tiene restricciones en su escala
Se ajusta a las formas de objetos hechos por el hombre Son apropiados para las formas naturales
Los objetos son descritos por una fórmula Los objetos son descritos por un algoritmo recursivo
Una comparación de las Geometrias Eublideana y Fractal

Tomado de: Peitgen Otto & Dietmar Saupe., The Science of Fractal Images., Springer Verlag. New York Inc., 1998. P. 27

El postular un nuevo tipo de geometría, permite especular desde luego sobre el nacimiento de nuevas físicas y con ello de nuevas interpretaciones cósmicas, es decir de nuevas formas de "ver" lo que nos rodea.

Por otro lado, si se piensa en que la enorme alegoría que constituye la matemática actual ha sido construida con elementos geométricos euclideanos de dimensión entera, ¿qué podríamos esperar de las construcciones cognitivas que es posible realizar con elementos no restringidos en sus escalas dimensionales?.

Desde luego, se desprenden de aquí bastísimos campos de investigación en matemáticas, en epistemología, en educación y en última instancia en la ontología generada por las nuevas formas de ver y las visiones proporcionadas por ellas.

El ser educados en una nueva forma de "ver", ciertamente que traería como consecuencia nuevas visiones.

Una de las que más me entusiasma, es la que se desprende de la existencia de objetos de dimensión no entera, pues me hace pensar en el problema de la densidad dimensional y más allá, en el continuo dimensional y la clase de "objetos" que podríamos usar para construir nuestras representaciones.

Ciertamente esto sería una nueva y hasta donde sé insospechada ecología epistémica.

Se tendrían como consecuencia nuevas formas de percepción y representación, pues en alguna medida creo yo casi determinante (y me alegro del "casi") nuestro aparato perceptual se desarrolla y/o se bloquea por la educación que nuestro entorno social (no solo escolar) nos proporciona.

Según advierto, a raíz de la postulación de la existencia de elementos geométricos cualitativamente diferentes a los euclideanos, estamos en víspera del abandono de ancestrales ropajes perceptuales, epistémicos, ontológicos y lingüísticos.

Desprendido de esto, se están generando, en este momento, nuevos conceptos y nuevas formas cognitivas de operar con ellos.

En suma, nuevas nociones en la concepción de lo que nos rodea, entre las que probablemente están incluidas:
 

En resumen, creo en la necesidad imperiosa de trabajar en la dirección de conformar una currícula de educación matemática cualitativamente distinta, en la que los asuntos matemáticos se aborden desde un punto de vista más global; tanto en los recursos tecnológicos de los que se eche mano, como en las relaciones contensiales intra y extramatemáticas.


Reflejos culturales y exigencias

Quiero establecer como un reflejo fundamental de las consideraciones hechas en los parágrafos anteriores, el hecho de que la sociedad y las comunidades modernas exigen individuos con capacidades epistémicas cualitativamente novedosas y sustancialmente diferentes, es decir no individuos que posean grandes cúmulos de información sino individuos que tengan las habilidades para operar, comprender, interpretar y procesar objetos de distintos saberes para transferir lo aprendido a otros problemas y a otros campos.

La postulación anterior, refleja la inherente necesidad actual de diseño y realización de una nueva ecología epistémica para lo que podríamos disponer de adelantos tecnológicos como las calculadoras y las computadoras, instrumentos que permiten realizar con gran economía de tiempo y energía psíquica para los docentes -estudiantes y profesores-, cantidades masivas de cálculos y procedimientos mecanicistas de repetición, dejando el tiempo y la energía economizados, para una construcción intelectual más relevante.

La superespecialización de las disciplinas y el consecuente correlato de ello en los lenguajes especiales, pone de relieve la urgente necesidad de una cultura lingüística más amplia que la que el patrimonio social nos lega de manera natural.

Las grandes ausentes de las actividades docentes sistematizadas suelen ser las relacionadas con el cultivo de las habilidades lingüísticas de oralidad y escritura.

La situación se hace desesperada cuando se advierte que cada una de las disciplinas tiene por así decirlo, su propio lenguaje y, además, que éste, es no natural.

En esta situación, es insoslayable la urgente necesidad de asumir sistémicamente la tarea de habilitar a nuestros estudiantes en el uso de su lengua materna hasta un nivel funcional y en una gama de habilidades lingüísticas, necesarias para el desempeño de estos en su interacción con otros lenguajes.

Podría decirse que la competencia de un individuo en su expresión oral y/o escrita, asegura y garantiza la competencia en el nivel de organización conceptual alcanzado por este.

Por otro lado, la oralidad y la escritura competentes son instrumentos o habilidades de acción-investigación sobre las construcciones intelectuales, de donde, podemos afirmar que un individuo sabe algo sobre algún objeto de conocimiento cuando es capaz de hablar o escribir -con ciertas características como claridad, concreción, consistencia lógica, estilo literario, etc.- sobre ello.

En un nivel jerárquico de aplicación subordinada, están las habilidades desprendidas de los lenguajes particulares de las disciplinas, refiriéndome con ello a las particularidades propias del discurso en cada disciplina.

Este renglón es también motivo de desatención lingüístico funcional generalizada en nuestro sistema educativo, puesto que en las actividades docentes no se abordan explícita y sistemáticamente las particularidades lingüísticas propias de cada una de las disciplinas objeto de estudio.

Este hecho no es casual, sino el resultado -por un lado- de una inconciencia colectiva relacionada con las componentes lingüísticas básicas y -por otro- de la relativa facilidad que se obtiene al hacerlo de manera sintáctica, dejando de lado una componentes semántica y por supuesto, una pragmática, ya que es poco probable realizar esta última -al menos de manera competente y autónoma- cuando no se sabe de qué se habla o se escribe.

De esta manera, el aprendizaje de las regularidades y diferencias propias de las disciplinas en el uso de las funciones lingüísticas como medios para acercarse a un objeto de conocimiento especial, quedan ocultos en las limitaciones del discurso docente, que como antes indiqué, está generalmente limitado a la componente sintáctica en la mención y uso de las concepciones, categorías, procedimientos y técnicas de las disciplinas que se abordan.

La enseñanza de los métodos debiera darse en el ejercicio de la oralidad y escritura en los diversos campos disciplinares, buscando el uso de los lenguajes especiales y materno en una dirección abarcante de sus componentes, a saber: pragmática, semántica y sintáctica.

Es así, que podría postularse el que los fines y compromisos de las organizaciones e instituciones educativas tuvieran una tarea quizá más modesta pero realista y no menos importante: la de asegurar el que las actividades docentes de profesores y estudiantes se desarrollen en un entorno lingüísticamente diverso y rico (competente) y/o en contacto con el mayor número de sistemas y/o formas de representación, cuyo recurso intrumental parece perfilarse en el uso de la tecnología de cómputo y los servicios de comunicación, transferencia de archivos y cómputo compartido.

 
 
 
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