Tesis de Doctorado en Matemática Educativa en México
 
Fernando Hitt
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México
fhitta@data.net.mx

Introducción

El Departamento de Matemática Educativa (DME) del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav-IPN) inició sus actividades académicas en 1975, con una Maestría en Ciencias en la especialidad de Matemática Educativa. Sus investigadores han realizado sus estudios de posgrado, tanto en México como en el extranjero, conformando un grupo amplio : 29 investigadores y 8 ayudantes de investigación. Posterior al inicio de su maestría, se impulsó dentro del Departamento un programa de doctorado en 1983. A lo largo de sus 22 años de existencia, en el Departamento se han graduado 308 Maestros en Ciencias y 23 Doctores en Ciencias. Las líneas de investigación de los miembros del DME se han orientado hacia el desarrollo curricular, análisis epistemológico, observación clínica, experimentación educativa entre profesores de matemáticas, investigación sobre nuevos métodos de enseñanza y uso de tecnología y observación en el aula (ver Hitt,1996 y 1997).

 

  1. Requisitos para realizar estudios de doctorado en el DME del Cinvestav-IPN
La actividad académica en el Departamento se realiza según los proyectos de investigación de los profesores que lo integran. En particular, el programa de doctorado incorpora estudiantes a esos proyectos de acuerdo al interés del profesor responsable en desarrollar uno u otro aspecto, de interés también para el estudiante. A continuación enlistamos los requisitos de ingreso a nuestra institución. a) Tener el grado de Maestría en Ciencias en la Especialidad de Matemática Educativa o áreas afines (Matemáticas, Física, Ingeniería).

b) Presentar para su evaluación un anteproyecto de investigación al Colegio de Doctorado del Departamento, el cual deberá estructurarse conjuntamente con un miembro del Colegio que esté interesado en la supervisión del mismo.

c) El anteproyecto de investigación deberá incluir un acercamiento al problema que el estudiante quiere desarrollar como proyecto de investigación incluyendo referencias actualizadas. Además, un plan de trabajo donde se describan los cuatro seminarios de investigación obligatorios que el estudiante deberá cursar durante su primer año de estancia en el departamento.

d) Una vez admitido un estudiante al programa de doctorado, se le asigna un director o directores de tesis y dos asesores del Colegio de Doctorado.

e) El estudiante debe presentar un examen predoctoral donde defienda su proyecto de investigación. Para presentar el examen correspondiente el estudiante deberá presentar un documento avalado por su director y asesores respectivos.

f) El Colegio de Doctorado designará al jurado, el cual estará constituido por al menos tres miembros del Colegio y dos revisores externos.

g) Para la obtención del grado de Doctor en Ciencias especialidad en Matemática Educativa, el estudiante deberá presentar un examen de grado correspondiente que versará sobre un documento (tesis) avalado por su director de tesis y por los revisores tanto internos como externos.

 

2. Expectativas que plantea la obtención del grado

Como corresponde a criterios generales, el trabajo desarrollado con miras a la obtención del grado de doctor, supone arribar a un resultado "nuevo", original, ya sea por el problema mismo hacia el cual se encamina, o por el enfoque con el que se aborda. Esto trata de asegurarse a lo largo del proceso tanto por los distintos asesoramientos como por la actualización permanente en el área de investigación correspondiente (si es el caso) por medio de la literatura respectiva. Siendo su formación la de un investigador, se espera que parte de sus productos se presente en congresos, y en artículos en revistas, ya sean de enseñanza, como de investigación.

La tesis debe mostrar sus reflexiones desde un punto de vista teórico como práctico (o exclusivamente teórico si ese es el caso). Algunas tesis hacen mayor énfasis en un aspecto que en otro, pero, en general, se espera un equilibrio entre esos aspectos en el documento final.

3. Valoración de la tesis

El Examen Predoctoral

El examen predoctoral es de suma importancia para el estudiante. El jurado determina conjuntamente su progreso, si éste ha sido significativo y la viabilidad de su investigación. En esta instancia se pone a prueba el dominio en la literatura que reporta, principalmente en cuanto a la concordancia entre los elementos conceptuales identificados en ella y en su problema de investigación y a la forma en que se planea abordarlo.

El Colegio de Doctorado espera que un estudiante regular presente su examen predoctoral (candidato a doctor) entre su tercero y cuarto semestres. La opinión del director es importante para definir fecha de examen.

Las características del documento base para la presentación del examen predoctoral (ver primeros cuadros del esquema de la Figura 2) deben ser las siguientes:

 

La conformación mínima del jurado examinador es: El director, los dos revisores internos y uno o dos revisores externos dependiendo del tipo de examen (predoctoral o de doctorado). Es requisito de la Institución que en el jurado haya mayoría de los miembros del Departamento.

Cabe señalar que el documento sobre el cual versa el examen predoctoral es sometido al examen, primero, del director del trabajo ; luego, al de los asesores internos y, finalmente, al de los externos. En cada paso, el estudiante va incorporando al escrito las observaciones que, de alguna manera vistas conjuntamente por él, el director, y los asesores, juzgan pertinentes para un planteamiento de la investigación. Entonces se procede a fijar fecha de examen. Por lo general, posterior al examen predoctoral el estudiante dedica un par de meses en discutir las recomendaciones del jurado, antes de proseguir con el desarrollo de la investigación y en la incorporación de nuevas lecturas sugeridas por el jurado.

 

Tesis de Doctorado y examen

El examen de doctorado presupone que el estudiante se ha desarrollado como investigador, se espera que tenga productos de investigación intermedios antes de presentar su examen. La tesis, como antes lo habíamos señalado, supone arribar a un resultado "nuevo", original, ya sea por el problema mismo hacia el cual se encamina, o por el enfoque con el que se aborda. Nuevamente la opinión de los asesores internos como la de los externos es importante.

La tesis es valorada como producto de investigación de acuerdo al criterio del director y asesores. Un punto importante a tomar en cuenta es el hecho de que el documento del estudiante debe estar a la disposición de los profesores del Departamento ; cualquiera de ellos puede hacer observaciones que considere pertinentes sobre el trabajo de investigación, y el director tiene la obligación de poner atención a éstas.

La obtención del grado de doctor supone :

De entre las características generales de tesis de doctorado que implican una experimentación, son las siguientes : Cuando el director decide que el estudiante ha finalizado su trabajo de investigación y avala su documento, es necesario esperar el dictamen de los dos revisores internos para poder enviar el documento a los revisores externos. Estos últimos también deben aprobar el documento para que se realice el examen correspondiente.

La responsabilidad mayor en la valoración de una tesis la tienen el director y los asesores internos. Se considera que cada una de las distintas etapas de una investigación puede propiciar la escritura de por lo menos un artículo que sea factible someterlo a arbitraje en foros como los congresos o revistas destinados a la problemática de la educación matemática. Algunos profesores opinan que el estudiante debiera tener publicaciones de corte internacional como producto de su avance de tesis. Este criterio todavía está en discusión dentro de nuestra comunidad académica. El argumento principal esgrimido es que ofrece la doble oportunidad de acceder a otros posibles puntos de vista que pudieran ser pertinentes para el estudiante, por un lado y, por el otro, el ejercicio de organización de ideas que supone la escritura de un reporte de investigación, con un formato dado.

 

4. El papel y responsabilidad del director y del estudiante

Elección del director

Los estudiantes interesados en realizar estudios de doctorado pueden tener o no antecedentes en la investigación en este campo específico. Sin embargo, para el estudiante que realizó estudios de maestría en nuestro Departamento, es más fácil que se le pueda guiar tanto para la elección de un director como para su tema de investigación que aquellos que lo realizaron al exterior del mismo, incluyendo a los extranjeros. Ello dado que los profesores pueden tener idea de las inclinaciones académicas de los que estudiaron en el Departamento y el estudiante generalmente conoce los trabajos de investigación del profesor.

Si el estudiante cursó una Maestría en otra institución y, posiblemente, en un área diferente a la de Matemática Educativa (p. ej. Matemáticas, Física o Ingeniería) entonces es necesario que se entreviste con varios profesores para que se entere de diferentes líneas de investigación, en mayor o menor grado, relacionadas con sus inquietudes. Se puede dar el caso, incluso, de que el aspirante dirija su solicitud de admisión directamente al Colegio de Doctorado (sobre todo si reside en el extranjero) donde, en alguna de sus reuniones, se determinan el o los profesores hacia quiénes se debe dirigir el estudiante para ampliar su información acerca del doctorado y de diferentes líneas de investigación.

Es tarea del estudiante entrevistarse con varios profesores para bosquejar su tema de investigación. Una vez llegado a un acuerdo entre el estudiante y algún profesor, éste último, tiene la obligación de asesorar al estudiante para la escritura de un anteproyecto que el profesor deberá presentar al Colegio. El documento se discute en alguna de sus sesiones y puede suceder una de cuatro opciones: a) Se acepta y se designan dos asesores internos; b) Se condiciona el documento y se solicita al estudiante y al profesor que se vuelva a escribir; una comisión se encarga de que se realicen los cambios sugeridos (generalmente son los revisores); c) Se rechaza y se propone que después de seis meses o un año pueda presentarse nuevamente ; d) Se rechaza.

El documento que aprueba el Colegio de Doctorado debe contener lo siguiente:

a) Definición del problema de investigación

b) Un mínimo de referencias cuya reflexión alrededor de su problema de investigación muestre que es relevante y que no tiene una posición ingenua al respecto.

c) Un plan de trabajo por un año que incluya su asistencia y participación a cuatro seminarios (semestrales) que el estudiante obligatoriamente deberá cursar. Los seminarios no necesariamente los tiene que impartir el director, pueden ser seminarios de otros profesores.

  1. Una carta de la institución donde labora el estudiante (generalmente profesor en servicio) donde se especifique que tiene permiso para desarrollar a tiempo completo un programa de doctorado y que a lo más tendrá que impartir un curso que le pueda servir para efectos de experimentación en el aula.
 

Seminarios: Los seminarios que el estudiante debe cursar son los que fueron diseñados por el director junto con el estudiante, y que fueron aprobados por el Colegio de Doctorado. Estos seminarios pueden ser de diferente índole. Posterior a esos seminarios, el director puede sugerirle al estudiante que se inscriba a otros seminarios que considere conveniente, sobre todo después de haber aprobado los primeros cuatro seminarios que el Colegio avaló.

El director se mantiene en contacto directo con sus estudiantes a través de los seminarios. Es importante señalar que aparte de esas sesiones se programan otras de asesoría que tienen que ver con discusiones directas de su avance de tesis o de alguna lectura en especial. Estas sesiones son más frecuentes con algunos estudiantes que con otros ; ello depende de la preparación del estudiante y de su ritmo de trabajo.

 

Características generales del papel del director en los exámenes

El director solicita al estudiante que se entreviste con los revisores para que en caso de haber duda, pueda aclararla. El director generalmente no está presente en este tipo de entrevistas. En caso de que un asesor interno no esté de acuerdo con el documento del estudiante puede dirigirle un escrito señalando su desacuerdo. El director y el estudiante deben discutir sobre la pertinencia o no de lo que se les indicó. Se han dado casos en que el director está de acuerdo y el estudiante es remitido a nuevas lecturas. De cualquier modo, hasta que todos los asesores den su voto aprobatorio se fija fecha de examen.

En el examen predoctoral y de doctorado, el director es un miembro del jurado y tiene los mismos derechos que cualquiera de entre ellos. El papel del director en los exámenes varía. Desde mi punto de vista, su rol en el examen predoctoral está encaminado a someter a una prueba rigurosa todo el planteamiento del proyecto por realizar, con el fin de contribuir a su desarrollo exitoso o, en todo caso a su reorientación, conjugando con el resto del jurado las distintas perspectivas u observaciones que ahí pueden tener lugar. Con esto se pretende que el examinador vaya a profundidad en sus argumentos y se percate de ello. Por tanto, la intervención del director en el examen predoctoral es directa e incisiva, como lo puede ser la de cualquier otro sinodal. Esto tiene que ver con la idea de que el director de tesis no tiene por qué llevar toda la carga en la formación académica de un estudiante. La responsabilidad recae en el director, por supuesto, pero también en la comunidad académica a través de los asesores y profesores encargados de seminarios. En cambio, en el examen de doctorado el papel del director puede ser diferente, puede si lo juzga conveniente, clarificar preguntas que pueden resultar oscuras al estudiante o a las que da una primera respuesta pobre en relación a lo que se establece en su tesis ; de esta forma el estudiante tiene una mejor oportunidad de defenderla.

 

5. Dirección de tesis (un punto de vista personal)

Tema de investigación y elección del director de tesis

Por la operación misma del programa de doctorado, por el tópico mismo, el desarrollo de un tema de investigación conjuga intereses de estudiante y director, en primera instancia, y de asesores en un segundo momento. Para el primero, esos intereses se pueden deber a interrogantes o preferencias producto de su experiencia profesional en el ámbito de la educación, o de su propia formación. Para los segundos, el interés se tiene por lo que haya en común con sus propios proyectos de investigación.

El desarrollo del tema de investigación propicia la interacción entre estudiante, director y asesores, que resulta en la clarificación y acuerdos progresivos sobre el problema planteado, enfoque y modos de abordarlo. Momentos específicos dan cuenta (o debieran dar cuenta) de esto :

Personalmente, el proceso que sigo con un estudiante interesado es el siguiente. Realizo pláticas informales con el estudiante acerca de lo que él quiere hacer y sobre el tipo de investigación que yo realizo. Si conozco al estudiante, lo puedo orientar a encontrar a un director de tesis que mejor se adecúe al tipo de investigación que desea. Incluso, muchas veces, le sugiero contactarse con más de un profesor, eventualmente, de acuerdo a lo que quiera realizar el estudiante, yo puedo formar parte de la lista. En muchas ocasiones el estudiante busca a un director con el que ha tenido contacto antes, sin poner como prioridad su idea acerca del estudio que quiere realizar.

Cuando un estudiante acude en búsqueda de información sobre posibles temas de investigación que pudiera desarrollar bajo mi supervisión, la clarificación de intereses tiene lugar en varias pláticas informales. En caso de que considere que lo que él (o ella) propone concierne más bien a lo que otros colegas trabajan, lo remito a ellos para que pueda orientar mejor sus inquietudes. Se puede tener también el caso de temas en el que confluyan cuestiones tratadas por otro colega, lo cual deriva de forma natural en una codirección. De una u otra forma, procedemos a seleccionar algunas lecturas que permitan al aspirante a clarificar su idea inicial. Posterior a la lectura de esos artículos le solicito un primer borrador donde ponga por escrito el problema de investigación que quiere desarrollar. Le sugiero que realice una búsqueda bibliográfica relativa a su problema de investigación según lo propuesto, y que lea un artículo acerca de cómo estructurar un proyecto de investigación (Hitt, 1996) y de Cómo se hace una tesis (Eco, 1977).

Una vez que se acepta la dirección del trabajo, solicito al estudiante su asistencia y participación a los seminarios indicados en el plan de trabajo que le delineo, y la escritura de resúmenes de las lecturas. En sesiones de asesoría individuales discutimos sobre la fundamentación conceptual de su investigación, aspectos metodológicos, y se regula, en la medida de lo posible, su temporalidad. El trabajo del estudiante, que considero uno de los más difíciles, pero además muy importante, consiste en la materialización o contextualización de sus reflexiones resultantes en torno a su problema de investigación.

Los seminarios que el estudiante debe cursar son de dos tipos; uno tiene que ver con la problemática específica de su tema, y el otro con problemáticas de otras investigaciones, ya sea de otros estudiantes, de otros profesores del Departamento o de otros investigadores.

En los seminarios del primer tipo las lecturas son las propuestas en el documento aprobado por el Colegio de Doctorado. En los del segundo tipo, se realizan lecturas de documentos acerca de teorías y sus aplicaciones. Las presentaciones están a cargo de los estudiantes. Además, en estos seminarios ellos presentan su avance de tesis. La práctica ha demostrado que la combinación de esos dos tipos de trabajo es fundamental en la formación de los estudiantes.

En las exposiciones de avances de tesis, los estudiantes van adquiriendo experiencia que les sirve tanto para presentaciones en congresos como para ir preparando su examen predoctoral.

 

Acerca de la importancia de la escritura de un documento

Uno de los grandes problemas de los estudiantes en nuestra institución es que algunos escriben muy poco, otros escriben cosas superfluas, y otros escriben muy mal. Subsanar estas dificultades es uno de los problemas más frecuentes del director de tesis.

En general, los estudiantes tienen poca experiencia en la escritura. Es frecuente que entreguen sus escritos sin revisarlos. No se han percatado que escribir un documento de investigación es un proceso que tiene varios pasos, entre ellos escribir y volver a escribirlo tantas veces como sea necesario. Incluso, entre un escrito y otro, puede ser importante dejar madurar una idea durante algún lapso de tiempo. Otro aspecto que no se aprovecha es la opinión de sus compañeros basada en una lectura crítica de su trabajo antes de entregarlo; ello les ayudaría a corregir algunos errores de escritura y a clarificar ideas que, o no están lo suficientemente desarrolladas, o pueden confundir al lector.

Muchos temores ocultos obstaculizan la escritura de un documento que se someterá a la crítica. Uno de ellos resulta de la duda sobre la pertinencia o relevancia de lo que se escriba, pues tal vez es mejor buscar en la literatura algún escrito en relación a lo que interesa. El inicio de un escrito tiene que ver con una decisión de fuerza de voluntad encaminada a ello. No se nace escritor, sino que es una habilidad que es necesario desarrollar y la única manera de hacerlo es escribiendo. Por otro lado, es necesario prepararse para recibir esa crítica y enriquecer el trabajo con la resultante reflexión debida a desacuerdos, omisiones o insuficiencias. El autor debe tomar en cuenta la crítica y considerar lo positivo para mejorar su escrito. Es importante darse cuenta de que escribir en el contexto de las matemáticas es diferente de como se hace en otros contextos ; la notación matemática especializada requiere de cuidado (ver p. ej. Knuth et al., 1989). Existen diferentes formatos para revistas, tesis, libros, etc. ; en el caso de publicación en revistas, una guía puede ser el APA Manual (1992), que establece fundamentalmente el tipo de formato y de estilo de un escrito de investigación. La redacción es otro problema al que debemos enfrentarnos.

Podríamos proponer alguna estrategia general, por etapas, sobre la escritura relativa a un anteproyecto:

En la actualidad, el uso de un procesador de palabras es absolutamente necesario, es posible escribir borradores y conservar sus archivos de una y otra versión si se considera necesario.

 

¿Qué tipo de metodología seguir?

Hace algunos años, los métodos cuantitativos predominaban en la investigación en matemática educativa. La organización de un proyecto de investigación con ese acercamiento seguía características como las señaladas en "Conducting Educational Research" (Tuckman, 1978), donde se parte de que

La investigación es un intento sistemático de responder preguntas. Tales respuestas pueden ser abstractas y generales como es el caso frecuente en la investigación básica o pueden ser altamente concretas y específicas como es el caso frecuente en investigación demostrativa o aplicada. En ambas clases de investigación, el investigador descubre hechos y después formula una generalización basada en la interpretación de esos hechos. La investigación básica tiene que ver con la relación entre dos o más variables. Se lleva a cabo identificando un problema, examinando variables relevantes seleccionadas por medio de la revisión de literatura, construyendo una hipótesis donde ello sea posible, creando un diseño de investigación para investigar el problema, recolectando y analizando datos apropiados y después sacando conclusiones acerca de las relaciones de las variables…

 

La estructura general de ese tipo de investigación se muestra en la Figura 1 (Tuckman, 1978, p. 90).

Figura 1. Estructura de un proyecto de investigación que se plantea el recurso a métodos cuantitativos.

 

Resalta en este tipo de investigación las siguientes características

Bell (1992) en la introducción de su libro señala lo siguiente: Si usted es un investigador principiante, los problemas que enfrenta son los mismos al producir un pequeño proyecto, una conferencia magistral o una tesis doctoral. Necesitaría seleccionar un tema; identificar los objetivos de su estudio; planear y diseñar una metodología adecuada; idear los instrumentos de investigación; negociar el acceso a las instituciones, al personal y material; recolectar, analizar y presentar la información y, finalmente, producir un reporte bien redactado o una conferencia. Cualquiera que sea la escala del compromiso, necesitará dominar las técnicas y diseñar un plan de acción que no pretenda más de lo que permitan las limitaciones impuestas por los expertos, el tiempo y el acceso. El progreso que hubo en la investigación que se proponía la búsqueda de explicaciones trajo consigo la puesta en juego de una variedad de métodos cualitativos. Estas nuevas ideas para hacer investigación, demostraron que muchas consideraciones a priori del investigador no se respondían con un acercamiento cuantitativo. Estas consideraciones se reflejaron en estudios posteriores formando una corriente que difería considerablemente de la corriente antes mencionada.

Bell (idem, p. 126) cita diferentes tipos de métodos comunes en la investigación cualitativa, por ejemplo, Investigación acción, Estudio de casos, El estilo etnográfico, etc. Para el reporte de investigación, ella proporciona una idea general de cómo estructurar tal reporte, que es:

1. Perfil de la investigación

2. Revisión bibliográfica

3. Declaración precisa del alcance y objetivos de la investigación

4. Descripción de la metodología, muestra e instrumentos de medición (si los hay)

5. Análisis de resultados

6. Discusión

7. Resumen y conclusiones

8. Referencias

 

Si se quisiera seguir un estudio de corte cualitativo, un libro adecuado es el de Qualitative Research For Education: An ontroduction to theory and Methods (Bogdan & Knopp, 1982). Ellos afirman lo siguiente (p. 30) con respecto a la investigación cualitativa.

La gente usa de muchas maneras la palabra teoría. Entre los investigadores cuantitativos en educación su uso está algunas veces restringido a afirmaciones sistemáticas y prueba de conjuntos de proposiciones acerca del mundo empírico. Nuestro uso de esa palabra está más en la línea del uso en sociología y antropología y similar al término paradigma … Un paradigma es una colección de suposiciones ligadas entre sí, conceptos o proposiciones que orientan el pensamiento y la investigación.

 

Bajo este punto de vista la investigación tiende a ser menos rígida que la de corte cuantitativo, no hay selección de variables ni método estadístico que imponga la metodología de recolección de datos. En la investigación cualitativa es usual que el investigador utilice grabadoras, o cámaras de video, realice entrevistas y sea un observador de lo que sucede en una comunidad; en nuestro caso puede ser el aula de matemáticas.

En la época en que dominaban los métodos cuantitativos, los investigadores en esta línea realizaban críticas muy fuertes a los que utilizaban algún método cualitativo. Actualmente es lo inverso, se ha pasado de un extremo a otro. Hay pocos investigadores que intentan utilizar ambos métodos en forma complementaria. Un método puede ser mejor que otro dependiendo de la investigación que se quiere desarrollar.

Estructura general para la organización de una investigación

Con la finalidad de que nuestros estudiantes cuenten con una guía para la organización de su investigación, yo en lo particular, les propongo la siguiente:

 

El esquema de la Figura 2 proporciona elementos de relaciones entre etapas en la organización de la investigación en curso.

Identificar el problema de investigación no es una tarea fácil ; es necesario realizar una búsqueda bibliográfica que nos permita esclarecer nuestro problema y evaluar si es relevante o no. Además, generalmente sucede, la imprecisión del problema de investigación nos sitúa en una problemática demasiado amplia que es necesario ir reduciendo en tanto se va avanzando en la investigación.

La lectura y crítica de artículos de investigación es una tarea importante que permite ir avanzando en el documento para el examen predoctoral o para el de doctorado. Para ello, se proporciona a los estudiantes la guía siguiente para elaborar con cierta estructura un resumen crítico de cada una de sus lecturas, identificando el tipo de investigación que el autor en turno realizó.

Puesto que una gran población de nuestros estudiantes son profesores en servicio, consideramos importante la distinción entre fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas y propuestas de enseñanza. Los estudiantes tienen una gran tendencia a plantear de inmediato propuestas de enseñanza guiados por su experiencia como profesores, en la mayoría de los casos sus propuestas son ingenuas o incompletas dado que les ha faltado la componente de investigación que tiene que ver con el estudio de los fenómenos ligados al aprendizaje. A partir de estas consideraciones planteamos lecturas bajo el siguiente esquema :

a) Lecturas de artículos de investigación sobre fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas

Realización de un resumen crítico que incluya aspectos como los siguientes:

estudiante. b) Lectura de artículos cuyo contenido sea sobre propuesta de enseñanza como producto de un estudio de fenómenos de aprendizaje Realización de un resumen crítico que incluya aspectos como los siguientes:  

 

¿Por qué esa distinción entre fenómeno ligado al aprendizaje y propuesta didáctica?

Un ejemplo relativo al concepto de función

Queremos hacer consciente al estudiante de la importancia del estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas. Tomemos como ejemplo el concepto de función. Si se realiza una análisis de textos en la enseñanza secundaria de los años cincuentas a la fecha, podemos distinguir fundamentalmente cuatro tipos de definiciones de una función: a) en términos de relación entre variables, b) como parejas ordenadas, c) como regla de correspondencia y d) como caja negra (entrada-salida). ¿Son ellas equivalentes en términos de enseñanza? Cuando un alumno aborda por primera vez las funciones ¿es mejor una definición que otra? ¿Alguna de ellas provoca obstáculos en el aprendizaje de las funciones?

Al analizar el comportamiento de algunos profesores de enseñanza secundaria en la resolución de problemas relativos a las funciones, observamos que los profesores tienen una idea intuitiva de función ligada a la continuidad y a una expresión algebraica. Esta idea está tan arraigada entre los profesores que producirá un obstáculo en la resolución de problemas ¿Cómo podemos analizar este fenómeno? En la Figura 3 se enuncian tres problemas, los cuales están diseñados para analizar un mismo fenómeno que es la idea de función continuidad expresada exclusivamente por una expresión algebraica.

 
 
Tres problemas para analizar un mismo fenómeno: función-continuidad expresada exclusivamente por una fórmula
Construir dos funciones f1 y f2 con dominio los números reales y contradominio los números reales, tal que :

f1(-5) = 2 = f2(-5); f1(0) = 1 = f2(0); f1(5) = 6 = f2(5)

Construir tres funciones f1, f2 y f3 con dominio los números reales y contradominio los números reales, tal que: |  f1(x) |  = |  f2(x) |  = |  f3(x) |  = 2 , para cualquier x real.
Dada la propiedad f(f(x)) = 1, para cualquier x real, construir dos funciones diferentes que la satisfagan, ya sea con una gráfica o proporcionando explícitamente la función.

Figura 3. Tres actividades relacionadas con un fenómeno de aprendizaje

Los errores cometidos por los profesores en la resolución del primer problema consisten en que al construir el primer ejemplo con una función polinomial de segundo grado, que es una función continua expresada por medio de una fórmula, quieren encontrar otra función polinomial de tercer o cuarto grado para la segunda función, siendo una tarea más compleja son pocos los profesores que lo logran. No realizan un cambio de estrategia que les podría ayudar a construir una función continua con más de una expresión algebraica, o si se quiere una función discontinua en cero (ver Figura 4).

 
 
Función continua
Función discontinua en cero

Figura 4. Función continua y discontinua definidas con dos expresiones algebraicas

 

Los errores más frecuentes en el segundo problema se presentan con la construcción de la tercera función, que generalmente es igual a la primera ; por ejemplo, escriben . En el último problema, una gran mayoría escribe ; nuevamente como en el caso anterior, algunos profesores cometieron el error de definir dos funciones iguales por medio de signos diferentes. Respuestas correctas a los dos últimos problemas pueden ser, por ejemplo,  ; en el primer caso, , en el segundo. Un comentario importante es que no hubo un sólo profesor que resolviera correctamente el tercer problema (ver Hitt, en prensa).

Los profesores tienen muy arraigada la idea de función-continuidad expresada por una fórmula. Con este ejemplo, hemos querido enfatizar que un fenómeno de aprendizaje lo podemos y deberíamos analizar bajo diferentes tareas intelectuales (ver Hitt, idem).

Veamos otro ejemplo relativo a las funciones, pero en este caso a las dificultades que existen para identificar gráficas de representaciones de funciones de las que no lo son en un sistema cartesiano. A un grupo de profesores se le presentaron diferentes curvas en un sistema cartesiano, la tarea consistió en distinguir de entre ellas a las que representaban una función. Un tercio de la población consideró que la circunferencia o la elipse eran representaciones de funciones, porque existe una expresión algebraica asociada a cada una de esas curvas. Este fenómeno es mucho más fuerte en los alumnos que en los profesores. Se puede realizar un análisis histórico sobre el desarrollo de una idea matemática, en este caso el de función, e intentar explicar este fenómeno, dado que en el surgimiento del concepto de función se puede detectar el mismo tipo de ideas intuitivas en la historia de la matemática.

 

¿Qué orientación teórica elegir ?

Un ejemplo sobre los sistemas semióticos de representación

Hemos querido ejemplificar las dificultades de aprendizaje con un solo concepto, introduciendo diferentes representaciones del mismo, con la intención de resaltar la importancia del estudio de diferentes sistemas semióticos de representación (SSR) relativos a un concepto (para más información de esta orientación teórica, ver a Duval, 1993 y 1995 ; Janvier, 1987 ; Kaput, 1991). En esta línea, se intersecan nuestras inquietudes con la perspectiva más general de los sistemas semióticos de representación. Según esta orientación, un concepto se va construyendo mediante tareas que impliquen diferentes sistemas de representación y promuevan la articulación coherente entre representaciones (ver diagrama de la Figura 5). Desde esta orientación teórica, el conocimiento de un individuo sobre un concepto es estable si él o ella es capaz de articular diferentes representaciones del concepto libre de contradicciones. Así, en la resolución de problemas, las representaciones están en el corazón mismo de la actividad matemática.

 

 
Figura 5. Esquema general sobre la construcción de conceptos

 

Hemos estado analizando algunas de las dificultades cognitivas relativas a la construcción del concepto de función, examinando algunos fenómenos ligados al aprendizaje. Suponiendo que hemos avanzado lo suficiente para entender muchos de esos conflictos, posiblemente podríamos estar en una situación que nos permitiera diseñar una propuesta didáctica sobre el tema de las funciones, que tomara en consideración los diferentes estudios realizados sobre la detección de fenómenos ligados al aprendizaje del concepto de función. En seguida, tendríamos que realizar un diseño experimental que contemple esta propuesta de enseñanza.

Resumiendo, una investigación cualitativa en una primera etapa nos pudo haber dado indicios sobre los fenómenos ligados a la adquisición del concepto de función. Una vez detectados ciertas dificultades cognitivas como las antes señaladas, se puede realizar un diseño experimental que nos indique qué tan generalizado está un obstáculo. Es decir, podríamos combinar en otra etapa un estudio de corte cuantitativo. Los obstáculos detectados nos pueden ayudar a guiar el diseño de una propuesta didáctica, que necesariamente tendríamos que llevar al aula y experimentarla.

Finalmente, es importante señalar que la lectura de un libro como éste puede ayudar al estudiante a reflexionar sobre muchos aspectos en los que podría tener una posición ingenua ante ellos, pero si no hay acciones encaminadas a la investigación que se quiere desarrollar, es como leer un manual que trate sobre cómo conducir un automóvil y no plantearse como problema aprender a conducir.

 

Referencias

American Psychological Association. (1992). Publication manual of the American Psycholocal Association (12th de.) Washington, DC: Author.

Bell J. (1992). Doing your research project. A Guide for First-Time Researchers in Education and Social Science. London: Open University Press.

Bogdan R. & Knopp S. (1982). Qualitative Research for Education: An introduction to theory and methods. London: Editorial Allyn and Bacon, Inc.

Duval R. (1993). Registres de représentation sémiotique et functionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5 (1993), p. 37-65, IREM de Strasbourg, France.

Duval R. (1995). Sémiosis et pensée humaine: Registres sémiotiques et apprentissage intellectuels. Suisse: Peter Lang.

Eco U. (1997). Cómo se hace una tesis. Técnicas y Procedimientos de investigación, estudio y escritura. Barcelona: Editorial Gedisa.

Hitt F. (1996). Estructurando un proyecto de investigación. En M. Santos y E. Sánchez (Eds.), Perspectivas en educación matemática (pp. 13-19). México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Hitt F. (Editor). (1996). Investigaciones en Matemática Educativa. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Hitt F. (1997) Matemática Educativa: Investigación y desarrollo 1975-1997. México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav-IPN, México.

Hitt F. (in press). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. In G. Goldin & C. Janvier (Eds.), Special Issue on representations, Journal of Mathematical Behavior.

Janvier C. (Editor), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. London: Lawrence Erlbaum Associates, 1987.

Knuth D., Larrabee T. & Roberts P. (1989). Mathematical Writing. MAA Notes Series, number 14, USA: Mathematical Association of America.

Kaput J. (1991) Notations and Representations as Mediators of Constructive Processes. In Von Glasersfeld E. (Ed.), Radical Constructivism in Mathematics Education (pp. 53-74). London: Kluwer Academic Publishers.

Tuckman B. (1978) Conducting Educational Research (2nd ed.). New York: Harcourt Brace Jovanovich, Inc.